「一般項」について

　公立 大阪府立大学 2010年 第2問

数列{an}が，
\begin{eqnarray}
&&a1=1\nonumber\\
&&a_{n+1}=\frac{n}{n+5}an(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{eqnarray}
で与えられている．数列{bn}を
bn=\frac{n+4}{4}an(n=1,2,3,・・・)
で定める．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)bn-b_{n+1}-anを求めよ．
(3)Sn=a1+a2+a3+・・・+anをnを用いて表せ．
(4)無限級数a1+a2+a3+・・・+an+・・・の和を求めよ．

　公立 広島市立大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
\mon[問1]2次正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)で，(A-E)(A-4E)=Oを満たすものを考える．ただし，a,b,c,dはそれぞれ正の整数とする．
\mon[(1)]a+d=5であることを示せ．
\mon[(2)]このようなAをすべて求めよ．
\mon[問2]
a1=1,a_{n+1}=\frac{9}{6-an}(n=1,2,3,・・・)
で定義される数列{an}を考える．
\mon[(1)]すべての正の整数nに対し，an＜3が成・・・

　公立 熊本県立大学 2010年 第2問

数列{an}の初項から第n項までの和Sn=a1+a2+・・・+anがSn=5n-1と表されるとき，この数列の一般項anを求めなさい．

　公立 大阪府立大学 2010年 第4問

数列{an}の初項から第n項までの和をSnで表わす．
(1)すべての自然数nに対して，Sn=2an-1を満たす数列{an}の一般項anを求めよ．
(2)すべての自然数nに対して，Sn=an+n2-1を満たす数列{an}の一般項anを求めよ．
(3)a1=1,a2=1とし，すべての自然数nに対して，a_{n+2}=a_{n+1}+anを満たす数列を{an}とする．このとき，すべての自然数nに対して，Sn=a_{n+2}-1およびSn＜3anが成り立つことを示せ．

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関係式を満たす数列{an}の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[(i)]a1=1/4,a_{n+1}=\frac{an}{3an+1}(n=1,2,3,・・・)
\mon[(ii)]a1=1,a_{n+1}=2an+3n(n=1,2,3,・・・)
(2)行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)が
A2-97A+2010E=O
を満たすとき，a+d,ad-bcの値の組をすべて求めよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1・・・

　公立 岐阜薬科大学 2010年 第1問

次の条件によって定められる数列{pn},{qn},{rn}がある．
p1=2,p_{n+1}=2pn,
q1=3,q_{n+1}=qn+pn,
r1=4,r_{n+1}=2rn-qn+pn(n=1,2,3,・・・)
また，点Cn(pn,qn)を中心とし，半径がrnの円をOnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)数列{qn},{rn}の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円Onはx軸と2点で交わることを示せ．
(3)円Onとx軸との交点をAn，Bnとす・・・