「三角形」について

　国立 和歌山大学 2010年 第3問

正三角形OABにおいて，辺AB，AOを1:3に内分する点をそれぞれP，Qとし，辺ABの中点をRとする．直線PQ上の点Sを　OB　⊥　OS　となるように定める．また，直線BQ上の点Tを　OT　⊥　BQ　となるように定める．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOTをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)3点R，S，Tが同一直線上にあることを示せ．

　国立 琉球大学 2010年 第2問

3点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(1,2,1)がある．
(1)z軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるようなmの値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径rを求めよ．

　国立 奈良女子大学 2010年 第4問

三角形OABにおいて，辺OAを1:2に内分する点をM，辺OBを3:2に内分する点をNとする．さらに，線分ANと線分BMの交点をXとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOXをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(2)直線OXと辺ABの交点をYとするとき，　AY　:　YB　を求めよ．
(3)三角形OABの面積をSとし，(2)のYに対して三角形MNYの面積をTとする．S:Tを求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第2問

正三角形ABCにおいて，線分ABを2:1に内分する点をD，線分BCの中点をE，点Eから直線ABに引いた垂線とABの交点をHとする．また，ベクトルHB=ベクトルa,ベクトルHE=ベクトルbとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAB,ベクトルAH,ベクトルDBをベクトルaを用いて表せ．
(2)ベクトルCDをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)線分HE上の点FがベクトルAF⊥ベクトルCDを満たすとき，Fは線分EHを2:1に内分することを示せ．

　国立 福井大学 2010年 第1問

座標平面上に4点O(0,0)，A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの・・・

　国立 佐賀大学 2010年 第3問

次の定理を証明せよ．
「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ2:1に内分される．」

　国立 高知大学 2010年 第3問

平面上に円Sと6点A，B，C，D，E，Fがある．A，B，CはS上の異なる3点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分ABをAの側に延長した半直線上に点Dがある．∠　CAD　を二等分する直線ℓと円Sは異なる2点で交わり，それらはAとEである．さらに，EはCを含まないS上の弧AB上にある．また，ℓは線分BCをCの側に延長した半直線と交わり，その交点がFである．このとき，次の問いに答えよ．
(1)題意にしたがって，円S，三角形ABCおよび点D，E，Fを描け．
(2)三角形ACFと三角形AEBが相似であることを・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第4問

右図のような三角形ABCを底面とする三角柱ABC-DEFを考える．
\img{177230720101}{10}

(1)AB=AC=5,BC=3,AD=10とする．三角形ABCと三角形\\
DEFとに交わらない平面Hと三角柱との交わりが正三角形となると\\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形\\
ABCと三角形DEFとに交わらない平面Hと三角柱との交わりが正\\
三角形となりうることを示・・・

　国立 東京学芸大学 2010年 第2問

下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点P(s,t)(t＞2)から，円x2+(y-1)2=1に引いた2本の接線とx軸の交点をそれぞれQ(α,0)，R(β,0)(α＞β)とする．点Pのy座標tを固定してx座標sを変化させるとき，α-βの最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．

　国立 山形大学 2010年 第2問

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを2:1に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．
(2)ベクトルARをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(3)ベクトルASをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(4)|ベクトルAS|の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．