「三角形」について

　国立 福島大学 2010年 第3問

曲線C:y=x3+2ax2+bxと直線ℓ:y=axがx≧0で定義されており，原点以外でこれらの曲線Cと直線ℓが接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，a≠0とする．
(1)曲線Cと直線ℓとの共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，aのとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線Cと直線ℓで囲まれる面積をS1，これら二つの共有点と点(0,-1)からなる三角形の面積をS2とする．S1=S2となるaの値を求めなさい．

　国立 琉球大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とする．xに関する方程式4x-2^{a+x}+2a=0が実数解を持つようにaの値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCの三辺を　AB　=4,　AC　=3,　BC　=\sqrt{13}とする．ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおくとき，内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．また，三角形ABCの重心をGとするとき，線分AGの長さを求めよ．

　国立 旭川医科大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=\frac{1-cosx}{x2}について，次の問いに答えよ．
(i)\lim_{x→0}f(x)を求めよ．
(ii)区間0＜x＜πでf(x)の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，∠　A　,∠　B　の大きさをそれぞれα,βとし，それらの角の対辺の長さをそれぞれa,bで表す．0＜α＜β＜πのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\frac{b2・・・

　国立 滋賀医科大学 2010年 第2問

四面体OABCにおいて，ベクトルOA⊥ベクトルOB,ベクトルOA⊥ベクトルBC,ベクトルOB⊥ベクトルBCとする．
(1)三角形OAB,OAC,OBC,ABCはすべて直角三角形であることを示せ．
(2)OCの中点Mから平面ABCに下ろした垂線の足をNとする．
ベクトルCN=sベクトルCA+tベクトルCB
と表すときのs,tを，長さOA,OBで表せ．

　国立 京都教育大学 2010年 第1問

△ABCの3つの角の大きさをA,B,Cで表し，また，それらの角の対辺の長さをそれぞれa,b,cで表す．このとき，\frac{cosB}{b}=\frac{cosC}{c}が成り立つ△ABCはどのような三角形であるか．

　国立 福岡教育大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)恒等式1/2(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}=x3+y3+z3-3xyzが成り立つことを示せ．
(2)a≧0,b≧0,c≧0のとき，\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはa=b=cのときであることを示せ．
(3)一辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形の面積は\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}で与えられることが知られている．ただし，s=\frac{a+b+c}{2}とする．三辺の長さの和が2s・・・

　国立 東京海洋大学 2010年 第4問

三角形OABにおいて，辺OAを1:2に内分する点をP，辺OBを1:2に内分する点をQ，辺OBを2:1に内分する点をR，辺ABの中点をSとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルPR⊥ベクトルQSとなるための条件を|ベクトルa|，|ベクトルb|と内積ベクトルa・ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルPR⊥ベクトルQSかつ|ベクトルa|=1のとき，|ベクトルb|のとりうる値・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

[ア]～[オ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)整数a,bが2a+3b=42を満たすとき，abの最大値は[ア]である．
(2)三角形ABCにおいて，AB=2，BC=1，CA=√2とし，∠A=α，∠B=βとする．正の整数m,nがmα+nβ=πを満たすとき，m=[イ]，n=[ウ]である．
(3)数列{an}は次の3つの条件を満たしている．
(i){an}は等差数列で，その・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第3問

tを実数とする．2つの放物線
y=x2+1\qquad・・・・・・①
y=-(x-t)2+t\qquad・・・・・・②
の両方に接する2本の直線をℓ1,ℓ2とし，ℓ1とℓ2の交点をP，ℓ1と①の接点をA(α,α2+1)，ℓ2と①の接点をB(β,β2+1)とする．次の設問に答えよ．
(1)Pの座標をα,βを用いて表せ．
(2)三角形APBの面積をS(t)とする・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)平面上の4点O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(1,1)に対し，線分BCの垂直二等分線は[ア]x+y+[イ]=0となる．また，平面上でPC≦PO，PC≦PA，PC≦PBを満たす点Pの存在する範囲は3点(0,1)，(2,[ウ])，([エ],[オ])を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は[カ]である．
(2)平面上に3点O，A・・・