「不定積分」について

　国立 山形大学 2014年 第3問

次の問に答えよ．
(1)不定積分∫tsintdtを求めよ．
(2)定積分∫0^{π/2}|2/3π-2t|sintdtを求めよ．
(3)関数f(x)をf(x)=∫0^{π/2}|x-2t|sintdtで定める（0≦x≦π）．f(x)の最大値，最小値を求め，それらを与えるxの値をそれぞれ求めよ．

　国立 防衛医科大学校 2014年 第4問

y=f(x)=tanx(-π/2＜x＜π/2,-∞＜y＜∞)の逆関数をy=f^{-1}(x)=tan^{-1}x(-∞＜x＜∞,-π/2＜y＜π/2)とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i)tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/3はいくらか．
(ii)tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/3=tan^{-1}\frac{・・・

　国立 山形大学 2014年 第3問

関数f(x)をf(x)=∫0^{π/2}|x-2t|sintdtで定める（0≦x≦π）．次の問に答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．ただし，a＞0とする．
∫tsinatdt,∫sin2t/2dt
(2)f(x)の最小値を求め，そのときのxの値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)-f(0)とx軸および直線x=πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転して得られる回転体の体積Vを求めよ．

　公立 大阪市立大学 2014年 第1問

a,bを実数とし，定積分∫0^π(x-a-bcosx)2dxの値をI(a,b)とおく．次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫cos2xdxを求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(3)I(a,b)をa,bを用いて表せ．
(4)a,bが実数全体を動くときのI(a,b)の最小値，および，I(a,b)が最小値をとるときのa,bの値を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の文章の[]に適する答えを記入せよ．
次のように1から5までの数字が書かれたカードを用意する．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}
それに次のように4の数字が書かれたカードを1枚加える．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}\fbox{4}
この6枚のカードを1列に並べて6桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i)y=\frac{x}{1+x+x2}
(ii)y=(x2+2x)e^{-x}
(2)次の不定積分を求めよ．
(i)∫x2logxdx
(ii)∫\frac{cosx}{cos2x+2sinx-2}dx
(3)x＞0とする．無限等比級数
1+logx+(logx)2+・・・+(logx)n+・・・
が収・・・

　公立 横浜市立大学 2014年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)関数tanxの導関数を求めよ．
(2)不定積分∫tanxdxを求めよ．
(3)X=cos(x/2-π/4)とおくとき，1+sinxをXを用いて表せ．
(4)不定積分∫\frac{dx}{1+sinx}を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}\frac{x}{1+sinx}dxの値を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫e^{-x}sin2xdxを求めよ．
(2)定積分∫01\sqrt{1+2√x}dxを求めよ．

　国立 浜松医科大学 2013年 第1問

関数f(x)=logx+1/xと曲線C:y=f(x)(x＞0)について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0を用いてもよい．
(1)f(x)の導関数f´(x)と不定積分∫f(x)dxをそれぞれ求めよ．
(2)曲線Cの変曲点を求めよ．
以下aは1より大きい実数とし，点(a,f(a))におけるCの接線をℓ(a)とする．
(3)接線ℓ(a)の方程式を求めよ．また，a≠2のとき，曲線Cと接線ℓ(a)は2個の・・・

　国立 大分大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次のxとyに関する連立方程式を解け．ただし，aとbは実数の定数とする．
{\begin{array}{l}
ax+y=1\
x+by=1
\end{array}.
(2)cosx≧1-\frac{x2}{2}(0≦x≦π/2)を証明せよ．
(3)不定積分∫e^{ax}sinbxdxを求めよ．ただし，aとbは実数の定数とする．