「不定積分」について

　公立 札幌医科大学 2013年 第4問

関数f(x)=xcosx-sinxを区間I:π≦x≦3πで考える．
(1)不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(2)区間Iにおける関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．区間Iにおいてf(x)=0をみたす2点をx=s,tとする．ただしs＜tとする．
(3)sとtは，それぞれ次の4つの区間
π≦x≦3/2π,3/2π≦x≦2π,
2π≦x≦5/2π,\f・・・

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

a,b,cは正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数
\sqrt{x(a+x)}-alog(√x+\sqrt{x+a})
の導関数を求めよ．
(2)部分積分を用いて
∫\sqrt{x(bx+c)}dx=1/2x\sqrt{x(bx+c)}+c/4∫\sqrt{\frac{x}{bx+c}}dx(x＞0)
が成り立つことを示せ．
(3)不定積分∫\sqrt{x(2x+1)}dx(x＞0)を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
∫x2cos(alogx)dx
を求めよ．ただし，aは0でない定数とする．
(2)曲線y=xcos(logx)とx軸，および2直線x=1,x=e^{π/4}で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 高知大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
∫log(1+x)dx
(2)関数f(x)が区間[0,1]で連続な増加関数であって，常にf(x)≧0であるものとする．また，nを自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
0≦1/nΣ_{k=1}nf(k/n)-∫01f(x)dx≦1/n{f(1)-f(0)}
(3)f(x)=log(1+x)に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}[1/nlog{・・・

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　国立 電気通信大学 2012年 第1問

関数f(x)=\frac{1}{x2+1}に対して，xy平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)曲線Cの第1象限にある変曲点Pの座標を求めよ．
(3)変曲点Pにおける曲線Cの接線ℓの方程式を求めよ．
(4)x=tanθ(-π/2＜θ＜π/2)とおく．このとき，不定積分
I=∫\frac{dx}{x2+1}
をθを用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を・・・

　国立 長崎大学 2012年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)I1=∫0^{√3}\frac{dx}{x2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I1=π/3を示せ．
(2)(1)のI1を部分積分して，I1とI2=∫0^{√3}\frac{dx}{(x2+1)2}の関係式を導き，I2の値を求めよ．
(3)t=x+\sqrt{x2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x2+1})の導関数を求めよ．
(5)極限値\・・・

　私立 中央大学 2012年 第4問

f(x)=sin(log1/x)(0＜x≦1)とおく．f(x)=0となるすべてのxを，大きい順にa0,a1,a2,・・・とする．以下の問いに答えよ．
(1)an(n=0,1,2,・・・)を求めよ．
(2)正の定数a,bに対し
d/dx(Ae^{-ax}cosbx+Be^{-ax}sinbx)=e^{-ax}cosbx
を満たす定数A,Bを求め，不定積分
∫e^{-ax}cosbxdx
を求めよ．
(3)bn=∫_{a_{n+1}}^{an}{f(x)}2dx(n=0,1,2,\cdo・・・

　私立 大同大学 2012年 第5問

f(x)=sin2xlog(2sinx)(π/12≦x≦3/4π)とする．
(1)不定積分∫tlogtdtを求めよ．
(2)2sinx=tとおいて置換積分することにより，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(3)f(x)≧0をみたすxの範囲を求めよ．
(4)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

　公立 岡山県立大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫cos3xdxを求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(3)定積分∫a^{a+π}|x|cosxdxを求めよ．ただし，aは実数とする．