「不定積分」について

　公立 広島市立大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．\\
(　i　)∫\frac{logx}{\sqrt[3]{x}}dx\qquad(　ii　)∫sin9xcosxdx\qquad(　iii　)∫sin9xcos3xdx
(2)次の極限値を求めよ．\lim_{x→0}\frac{1-cosx}{x2}
(3)\lim_{x→∞}\frac{sinx}{x}=0を示せ．

　公立 大阪府立大学 2012年 第5問

nとkを自然数，tを正の実数とする．以下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xsintxdxを求めよ．
(2)定積分∫0^{2/tπ}|xsintx|dxを求めよ．
(3)定積分Ik(t)=∫_{\frac{k-1}{t}π}^{k/tπ}|xsintx|dxを，kが偶数である場合に求めよ．
(4)定積分∫0^{2n/tπ}|xsintx|dxを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2012年 第3問

曲線C1:y2=4pxとC2:x2-y2=-q（ただし，p＞0，q＞0）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．
(1)qをpを用いて表せ．また接点の座標をpを用いて表せ．
(2)\sqrt{x2+q}+x=tと置いたときxをtで表せ．また不定積分I=∫\sqrt{x2+q}dxをxからtへの置換積分により，tの関数として求めよ．
(3)曲線C1，C2とy軸で囲まれた部分の面積をpで表せ．

　国立 秋田大学 2011年 第3問

f(x)=\frac{3√3}{4}-sin2x,g(x)=\frac{3√3}{4}-2cosxとする．
(1)関数{f(x)}2-{g(x)}2の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数xに対して，不等式sin2x≦a-2cosxが成り立つような定数aの中で最小の値を求めよ．
(3)定積分∫0^π|{f(x)}2-{g(x)}2|dxを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第4問

xy平面上の2曲線C1:y=\frac{logx}{x}とC2:y=ax2は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，aは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}の増減，凹凸，変曲点を調べ，C1の概形を描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標およびaの値を求めよ．
(3)不定積分∫(\frac{logx}{x})2dxを求めよ．
(4)C1,C2およ・・・

　国立 信州大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
∫log(1+√x)dx
(2)点(1,1)を中心とする半径1の円と，x軸およびy軸で囲まれた図形を，x軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．

　国立 島根大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ．
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で，曲線C:y=|x|sinxを考える．Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ．
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で，曲線C:y=|x|sinxを考える．Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．