「不定積分」について

　国立 大分大学 2011年 第4問

次の問いに答えなさい．
(1)不定積分∫t2etdtを求めなさい．
(2)x≧0で定義された関数
F(x)=-x+∫0x(xt-t2)etdt
の最小値とそのときのxの値を求めなさい．

　国立 電気通信大学 2011年 第2問

x＞0において関数
f(x)=sin(logx)
を考える．\\
方程式f(x)=0の0＜x≦1における解を大きいほうから順にならべて，
1=α1＞α2＞α3＞・・・＞αn＞α_{n+1}＞・・・
とする．以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分I(x),J(x)をそれぞれ
I(x)=∫exsinxdx,J(x)=∫excosxdx
とおくとき，I(x)+J(x),I(x)-J(x)を求めよ．
(2)・・・

　国立 東京学芸大学 2011年 第3問

下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xe^{-2x}dx，∫x2e^{-2x}dxを求めよ．
(2)すべての実数xについて
f(x)=(2x2+3)e^{-x}+∫0^{log2}f(t)e^{-t}dt
をみたす関数f(x)を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

　国立 防衛医科大学校 2011年 第4問

数列
{\scriptsize
1^{0.01},2^{0.02},2^{0.02},3^{0.03},3^{0.03},3^{0.03},4^{0.04},4^{0.04},4^{0.04},4^{0.04},5^{0.05},・・・,(n-1)^{\frac{n-1}{100}},\underbrace＜30,0＞{n^{\frac{n}{100}},・・・,n^{\frac{n}{100}}}_{n個},(n+1)^{\frac{n+1}{100}},・・・
}
について，以下の問に答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分∫x2logexdxを求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積をAとす・・・

　国立 茨城大学 2011年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ．
\end{e・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{x2}logxdxおよび∫\frac{1}{x2}(logx)2dxを求めよ．
(2)実数aに対して，曲線y=1/x(a+logx)(1≦x≦e)とx軸および2直線x=1,x=eで囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする．Vをaを用いて表せ．また，aが実数全体を動くとき，Vを最小とするaの値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

四面体OABCの辺OB，OC，AC，ABの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルASとベクトルARを表せ．
(2)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルPQ，ベクトルPS，ベクトルSRを表せ．
(3)点O，A，B，Cの座標が実数tを用いて，それぞれ(・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第5問

0≦x≦π/2において，曲線y=cosxとx軸およびy軸で囲まれた図形をDとする．
(1)Dをx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V1を求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxと∫x2sinxdxを求めよ．
(3)Dをy軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V2を求めよ．

　私立 関西学院大学 2011年 第4問

関数f(x)=x^{-2}logx(x＞0)について次の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)上の点(p,f(p))における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線ℓの方程式を求めよ．
(4)m≠-1に対して，不定積分∫xmlogxdxを求めよ．また，曲線y=f(x)，直線ℓ，およびx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ．

　私立 津田塾大学 2011年 第3問

次の問に答えよ．
(1)不定積分∫{(logx)}2dxを求めよ．
(2)関数y=logxのグラフをCとする．Cに接し，かつ原点を通る直線ℓの式を求めよ．
(3)Cとℓとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．