「不定積分」について

　私立 青山学院大学 2011年 第4問

実数aについて，次の定積分を考える．
I(a)=∫0^{π/2}(sinx-ax)2dx
(1)不定積分∫xsinxdxを求めよ．
(2)I(a)を求めよ．
(3)aがa≧0の範囲を動くとき，I(a)の最小値を求めよ．

　私立 青山学院大学 2011年 第5問

曲線y=e^{x2}-1(x≧0)をy軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻tにおける水の体積がvtとなるように，単位時間あたりvの割合で水を注入する．ただし，vは正の定数であり，y軸の負の方向を鉛直下方とする．
(1)不定積分∫log(y+1)dyを求めよ．
(2)水面の高さがhとなったときの容器内の水の体積Vを，hを用いて表せ．ただし，hは容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さがe^{10}-1となった瞬間における，水面の高さの変化率\displ・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
I1=∫logxdx,I2=∫(logx)2dx
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)2曲線y=log(x+1),y=log2xとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 北海道大学 2010年 第4問

0≦x≦1に対して
f(x)=∫01e^{-|t-x|}t(1-t)dt
と定める．ただし，e=2.718・・・は自然対数の底である．
(1)不定積分I1=∫tetdt,I2=∫t2etdtを求めよ．
(2)f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)f(x)はx=1/2で極大となることを示せ．

　国立 信州大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)四面体OABCにおいて，OA⊥BCかつOB⊥CAならば，OC⊥ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ．
(3)極限値\lim_{n→∞}Σ_{k=1}n\frac{n}{4n2-k2}を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{1+ex}dxを求めよ．
(2)実数aに対して定積分∫02|\frac{1}{1+ex}-\frac{1}{1+ea}|dxの値をS(a)とおく．aが0≦a≦2の範囲を動くとき，S(a)の最小値を求めよ．

　国立 秋田大学 2010年 第1問

nを自然数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫π(x+π)sinπxdxを求めよ．
(2)下の図のように，曲線y=π(x+π)sinπx(0≦x≦2n-1)とx軸とで囲まれた図形のx軸より上側にある部分を，原点側から順にP1，P2，P3，・・・，Pnと分けるとき，図形Pkの面積Sk(k=1,2,3,・・・,n)をkの式で表せ．
（プレビューでは図は省略します）
(3)(2)のSkに対して，Σ_{k=1}nSkをnの式で表せ．

　国立 長岡技術科学大学 2010年 第2問

関数f(x)=(ax+b)e^{-3x}について以下の問いに答えなさい．
(1)導関数f´(x)をf´(x)=(cx+d)e^{-3x}と表すとき，(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=A(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})となる2×2行列Aを求めなさい．
(2)(1)の行列Aの逆行列を求めなさい．
(3)不定積分∫xe^{-3x}dxを求めなさい．

　国立 京都教育大学 2010年 第5問

太郎君は関数f(x)をxについて微分して導関数f´(x)=6x+6を得た．次の(1)，(2)に答えよ．
(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数f(x)を求めよ．
\mon[(a)]y=f(x)が表す曲線と直線y=2が接する場合．
\mon[(b)]y=f(x)とx軸とで囲まれる図形の面積が\frac{4√3}{9}になる場合．
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の①から⑤の付加条件を1つだけ加えて元の関数f(x)を求めることにした．
\begin{screen}
{\・・・

　国立 九州工業大学 2010年 第1問

aを正の実数とする．また，対数は自然対数，eは自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫log(ax)dxを求めよ．
(2)0＜x＜eの範囲で曲線y=log(ax)と直線y=1とが交わるように，aの値の範囲を定めよ．
(3)aの値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線y=log(ax)と2直線y=0,x=eとで囲まれた図形のうち，y≦1の部分の面積をS1，y≧1の部分の面積をS2とする．S=S1-S2をaを用いて表せ．
(4)aの値が(2)で求めた範・・・