「不定積分」について
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(8ページ目:全82問中71問~80問を表示)実数aについて,次の定積分を考える.
I(a)=∫0^{π/2}(sinx-ax)2dx
(1)不定積分∫xsinxdxを求めよ.
(2)I(a)を求めよ.
(3)aがa≧0の範囲を動くとき,I(a)の最小値を求めよ.
![青山学院大学](./img/univ/aoyama.png)
曲線y=e^{x2}-1(x≧0)をy軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に,時刻tにおける水の体積がvtとなるように,単位時間あたりvの割合で水を注入する.ただし,vは正の定数であり,y軸の負の方向を鉛直下方とする.
(1)不定積分∫log(y+1)dyを求めよ.
(2)水面の高さがhとなったときの容器内の水の体積Vを,hを用いて表せ.ただし,hは容器の底から測った高さである.
(3)水面の高さがe^{10}-1となった瞬間における,水面の高さの変化率\displ・・・
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)不定積分
I1=∫logxdx,I2=∫(logx)2dx
をそれぞれ求めよ.ただし,積分定数は省略してよい.
(2)2曲線y=log(x+1),y=log2xとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.
![北海道大学](./img/univ/hokkaido.png)
0≦x≦1に対して
f(x)=∫01e^{-|t-x|}t(1-t)dt
と定める.ただし,e=2.718・・・は自然対数の底である.
(1)不定積分I1=∫tetdt,I2=∫t2etdtを求めよ.
(2)f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ.
(3)f(x)はx=1/2で極大となることを示せ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
次の問いに答えよ.
(1)四面体OABCにおいて,OA⊥BCかつOB⊥CAならば,OC⊥ABとなることを証明せよ.
(2)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ.
(3)極限値\lim_{n→∞}Σ_{k=1}n\frac{n}{4n2-k2}を求めよ.
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
次の問いに答えよ.
(1)不定積分∫\frac{1}{1+ex}dxを求めよ.
(2)実数aに対して定積分∫02|\frac{1}{1+ex}-\frac{1}{1+ea}|dxの値をS(a)とおく.aが0≦a≦2の範囲を動くとき,S(a)の最小値を求めよ.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
nを自然数とするとき,次の問いに答えよ.
(1)不定積分∫π(x+π)sinπxdxを求めよ.
(2)下の図のように,曲線y=π(x+π)sinπx(0≦x≦2n-1)とx軸とで囲まれた図形のx軸より上側にある部分を,原点側から順にP1,P2,P3,・・・,Pnと分けるとき,図形Pkの面積Sk(k=1,2,3,・・・,n)をkの式で表せ.
(プレビューでは図は省略します)
(3)(2)のSkに対して,Σ_{k=1}nSkをnの式で表せ.
![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
関数f(x)=(ax+b)e^{-3x}について以下の問いに答えなさい.
(1)導関数f´(x)をf´(x)=(cx+d)e^{-3x}と表すとき,(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=A(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})となる2×2行列Aを求めなさい.
(2)(1)の行列Aの逆行列を求めなさい.
(3)不定積分∫xe^{-3x}dxを求めなさい.
![京都教育大学](./img/univ/kyotokyouiku.png)
太郎君は関数f(x)をxについて微分して導関数f´(x)=6x+6を得た.次の(1),(2)に答えよ.
(1)次の(a),(b)のそれぞれの場合において,元の関数f(x)を求めよ.
\mon[(a)]y=f(x)が表す曲線と直線y=2が接する場合.
\mon[(b)]y=f(x)とx軸とで囲まれる図形の面積が\frac{4√3}{9}になる場合.
(2)太郎君の話を聞いた花子さんは,次の①から⑤の付加条件を1つだけ加えて元の関数f(x)を求めることにした.
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![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
aを正の実数とする.また,対数は自然対数,eは自然対数の底を表す.以下の問いに答えよ.
(1)不定積分∫log(ax)dxを求めよ.
(2)0<x<eの範囲で曲線y=log(ax)と直線y=1とが交わるように,aの値の範囲を定めよ.
(3)aの値が(2)で求めた範囲にあるとする.座標平面において,曲線y=log(ax)と2直線y=0,x=eとで囲まれた図形のうち,y≦1の部分の面積をS1,y≧1の部分の面積をS2とする.S=S1-S2をaを用いて表せ.
(4)aの値が(2)で求めた範・・・