「不等式」について

　問題集 センター試験 2015年 第1問

2次関数
y=-x2+2x+2・・・・・・①
のグラフの頂点の座標は([ア],[イ])である．また
y=f(x)
はxの2次関数で，そのグラフは，①のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したものであるとする．
(1)下の[ウ],[オ]には，次の\nagamarurei～\nagamarushiのうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\nagamarurei＞\qquad\nagamaruichi＜\qquad\nagamaruni≧\qq・・・

　国立 東京大学 2015年 第6問

nを正の整数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数g(x)を次のように定める．
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1　のとき　)\
0&(|x|＞1　のとき　)
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし，p,qを実数とする．|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき，次の不等式を示せ．
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・

　国立 東京大学 2015年 第3問

ℓを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の3条件(i)，(ii)，(iii)で定まる円C1，C2を考える．
(i)円C1，C2は2つの不等式x≧0，y≧0で定まる領域に含まれる．
(ii)円C1，C2は直線ℓと同一点で接する．
(iii)円C1はx軸と点(1,0)で接し，円C2はy軸と接する．
円C1の半径をr1，円C2の半径をr2とする．8r1+9r2が最小となるような直線ℓの・・・

　国立 大阪大学 2015年 第2問

実数x,yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき，不等式
0≦x2+y2-2x2y2+2xy\sqrt{1-x2}\sqrt{1-y2}≦1
が成り立つことを示せ．

　国立 大阪大学 2015年 第1問

実数x,yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき，不等式
0≦x2+y2-2x2y2+2xy\sqrt{1-x2}\sqrt{1-y2}≦1
が成り立つことを示せ．

　国立 九州大学 2015年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{1}{x(logx)2}はx＞1において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分∫\frac{1}{x(logx)2}dxを求めよ．
(3)nを3以上の整数とするとき，不等式
Σ_{k=3}n\frac{1}{k(logk)2}＜\frac{1}{log2}
が成り立つことを示せ．

　国立 岡山大学 2015年 第1問

nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が異なっている確率をpnとする．不等式pn≧0.9を満たす最小の自然数nの値を求めよ．
\・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x≧1のとき，不等式2√x＞1+logxが成り立つことを証明せよ．
(2)関数y=xlogx(x＞0)のグラフを曲線Cとする．定数aに対し，曲線Cの接線で点(a,0)を通るものは何本あるか．
(3)(2)で定められた曲線Cとその傾き2の接線および直線x=e^{-2}で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第2問

xy平面において，3次関数y=x3-xのグラフをCとし，不等式
x3-x＞y＞-x
の表す領域をDとする．また，PをDの点とする．
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ．
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．n=1,2,3,・・・に対し，座標平面の3点
(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}a}),((2n+1)π,0)
を頂点とする三角形の面積をAnとし，
Bn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{xa}dx,\qquadCn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin2x}{xa}dx
とおく．
(1)n=1,2,3,・・・に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{2}{・・・