「不等式」について

　国立 宮城教育大学 2014年 第2問

3つの不等式
logy(x2-3x+2)≦1,0＜x≦3,0＜y≦2
を同時にみたす領域をxy平面上に図示せよ．さらに，点(x,y)がこの領域内を動くとき，3x+4yの最大値とそれを与えるx,yの値を求めよ．

　国立 徳島大学 2014年 第3問

n枚のカードに1からnまでの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これらn枚のカードを横一列に並べて，左端からi番目（1≦i≦n）のカードに書かれた数をaiとする．
(1)n=5のとき，a1＜a2＜a3かつa3＞a4＞a5を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)n≧3とする．次の条件(i)，(ii)を満たすカードの並べ方の総数をnの式で表せ．ただし，(ii)では，k=2のときa1＜a2＜・・・＜akはa1＜a2を表し，k=n-1のと・・・

　国立 宮城教育大学 2014年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)0≦θ≦2πとする．関数
y=2sin2θ-2√2(sinθ+cosθ)+2
について，t=sinθ+cosθとおいて，yをtの関数で表せ．また，yの最大値，最小値とそのときのθの値を求めよ．
(2)3つの不等式
logy(x2-3x+2)≦1,0＜x≦3,0＜y＜1
を同時にみたす領域をxy平面上に図示せよ．

　国立 福井大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)p＞1，q＞1のとき，不等式p+q＜pq+1を証明せよ．
(2)a＞1，b＞1のとき，不等式\sqrt{a+b-1}＜√a+√b-1を証明せよ．
(3)a＞1，b＞1，c＞1のとき，不等式\sqrt{a+b+c-2}＜√a+√b+√c-2を証明せよ．

　国立 福井大学 2014年 第5問

Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と放物線C:y=1/2x2-3x+6があり，C上の点でx座標がtと2tであるものをそれぞれP，Qとおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただしt＞0とする．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるときのtの値をt0とおく．t0の値を求めよ．
(2)t=t0のとき，△OAQの周および内部と，不等式y≧1/2x2-3x+6の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
\mo・・・

　国立 宇都宮大学 2014年 第4問

座標平面において，不等式y≧x2の表す領域をDとし，D内の点(a,b)に対して連立不等式
y≧x2,x≧a,b≧y
の表す領域をE(a,b)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域E(a,b)の面積Sをaとbを用いて表せ．
(2)曲線4y=(x+1)2上の点(2t-1,t2)が領域D内を動くとき，実数tの取り得る値の範囲を求めよ．
(3)(2)で求めた範囲のtに対して，領域E(2t-1,t2)の面積をf(t)とするとき，関数f(t)をtの式で表せ．
(4)(3)で定めた関・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式2-x＜(2+x)e^{-x}が成り立つことを証明せよ．
(2)定積分∫0^{1/2}(2-x)dxおよび∫0^{1/2}(2+x)e^{-x}dxの値を求めよ．
(3)(1)と(2)を用いて，不等式3/5＜e^{-1/2}＜17/28が成り立つことを証明せよ．

　国立 鳥取大学 2014年 第3問

実数の定数a,bに対し，関数f(x)=sin22x-a(4cos2x-cos2x-2)+bが与えられている．
(1)t=cos2xとしてf(x)をt,a,bを用いて表せ．
(2)すべての実数xに対して不等式-1≦f(x)≦3が成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ．

　国立 鳥取大学 2014年 第1問

実数の定数a,bに対し，関数f(x)=sin22x-a(4cos2x-cos2x-2)+bが与えられている．
(1)t=cos2xとしてf(x)をt,a,bを用いて表せ．
(2)すべての実数xに対して不等式-1≦f(x)≦3が成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ．

　国立 愛媛大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)AB=1，∠A={90}°を満たす直角二等辺三角形ABCにおいて，辺ABの中点をP，辺ACを2:1に内分する点をQ，線分CPと線分BQの交点をRとする．このとき，線分ARの長さを求めよ．
(2)(1/3)^{26}を小数で表すと，小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし，必要ならばlog_{10}3=0.4771として計算せよ．
(3)kを実数とし，不等式x2-2x-3＞0，x・・・