「不等式」について

　国立 茨城大学 2013年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)不等式x+|y-1|≦1の表す領域を図示せよ．
(2)aを実数とする．このとき，
A(\begin{array}{c}
1\
2
\end{array})=(\begin{array}{c}
3\
1\\
2
\end{array})　かつ　A(\begin{array}{c}
2\
a
\end{array})=(\begin{array}{c}
2\
1\\
3
\end{array})
を満たす行列Aが存在するかどうかを調べよ．存在するときはAを求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．

　国立 東京学芸大学 2013年 第3問

下の問いに答えよ．
(1)方程式xcosx=sinxは\frac{4π}{3}＜x＜2πの範囲にただ1つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解をαとおくとき，0＜x＜2πにおいて不等式
\frac{sinx}{x}≧-\frac{1}{\sqrt{1+α2}}＞-\frac{3}{4π}
が成り立つことを示せ．

　国立 東京学芸大学 2013年 第4問

x≧0において連続関数f(x)が不等式
f(x)≦a+∫0x2tf(t)dt
をみたしているとする．g(x)=ae^{x2}とするとき，下の問いに答えよ．ただし，aは0以上の定数である．
(1)等式g(x)=a+∫0x2tg(t)dtを示せ．
(2)h(x)=e^{-x2}∫0x2tf(t)dtとするとき，x＞0において不等式h´(x)≦2axe^{-x2}が成り立つことを示せ．
(3)x≧0において不等式f(x)≦g(x)が成り立つことを示せ．

　国立 山形大学 2013年 第3問

nを2以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)∫1nlogxdxを求めよ．
(2)関数y=logxの定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
(n-1)!≦nne^{-n+1}≦n!
(3)極限値
\lim_{n→∞}\frac{log(n!)}{nlogn}
を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第8問

0＜x＜2とする．
(1)不等式(log2x)2+5log2x＜-6を解け．
(2)不等式sinx+cos2x≧1を解け．
(3)次の[]に最も適切なものを①～④からひとつ選び，その理由を説明せよ．
条件p,qを，
\begin{array}{lll}
p&:&(log2x)2+5log2x＜-6\
q&:&sinx+cos2x≧1
\end{array}
とする．pはqであるための[]．
①必要条件である②十分条件である③必要十分条件である④・・・

　国立 山口大学 2013年 第2問

f(x)=tanx,g(x)=\frac{4x}{π(π-2x)}とする．xy平面において，曲線y=f(x)(0≦x＜π/2)とy=g(x)(0≦x＜π/2)をそれぞれC1,C2とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)0＜x＜π/2のとき，不等式f(x)＞g(x)を証明しなさい．
(2)0＜a＜π/2のとき，2曲線C1,C2と直線x=aで囲まれた図形の面積をS(a)とする．このとき，\displayst・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2013年 第2問

関数f(x)=-5/2x(x-1)を考える．aを実数とし，実数b,cをb=f(a)，c=f(b)により定める．
(1)不等式a＜bを満たすようなaの値の範囲を求めよ．
(2)連立不等式
(*){\begin{array}{l}
a＜b\
b＞c
\end{array}.
を満たすようなaの値の範囲を求めよ．
(3)(2)の連立不等式(*)が成り立つとき，cとf(c)の大小を判定せよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2013年 第3問

aを正の定数とし，mを自然数とする．xy平面上の2曲線C1:y=ax2(x≧0)，C2:y=(logx)^{m}(x≧1)および点Pは次の条件を満たしている．
C1とC2はPを通り，PにおけるC1の接線とPにおけるC2の接線は一致する．
(1)aの値およびPのx座標をmを用いて表せ．
(2)関数f(x)=\frac{(logx)m}{x2}(x≧1)の最大値を求め，x≧1において不等式ax2≧(logx)mが成り立つことを示せ．
(3)自・・・

　国立 山口大学 2013年 第1問

x＞0,x≠1を定義域とする次の5つの関数を考える．
\frac{x2+1}{2},\frac{2x2}{x2+1},x,(\frac{x+1}{2})2,\frac{x2-1}{2logx}
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)上の5つの関数の間に[1]＜[2]＜[3]＜[4]＜[5]の不等式が成立するとすれば，[1]から[5]にはどの関数が入るか．x=2を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，log2=0.693・・・とする．
(2)[4]＜[5]の部分の不等式・・・

　国立 滋賀医科大学 2013年 第4問

xy平面において，連立不等式
x2+y2≦1,x≧0,y≧0
で定まる図形をSとする．tを0＜t＜1となる定数とし，Sを直線y=tで2つの部分に切断する．S1をSと領域y≧tの共通部分，S2をSと領域y≦tの共通部分とする．
(1)図形S1,S2を描け．
(2)S1,S2をy軸の周りに1回転させてできる立体をそれぞれV1,V2とする．不等式
\frac{(S1　の面積　)}{(S2　の面積　)}≧\frac{(V1　の体積　)}{(V2\text{の体積・・・