「不等式」について

　国立 新潟大学 2015年 第5問

自然数nに対して，関数fn(x)を次のように定める．
\begin{array}{ll}
f1(x)=1-\frac{x2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\
fn(x)=∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が偶数のとき　)\
fn(x)=1-∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が　3　以上の奇数のとき　)
\end{array}
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，0＜x≦1のときx-\frac{x3}{3!}＜sinx＜xが成り立つことを用いてよい．
\mo・・・

　国立 横浜国立大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)定積分
∫0^{log3}\frac{dx}{ex+5e^{-x}-2}
を求めよ．
(2)x＞0のとき，不等式
logx≧\frac{5x2-4x-1}{2x(x+2)}
が成り立つことを示せ．

　国立 横浜国立大学 2015年 第5問

1個のさいころを3回続けて投げ，出た目を順にa,b,cとする．不等式
∫0^π(cosax)(cosbx)(coscx)dx＞0
をみたす確率を求めよ．

　国立 東京工業大学 2015年 第1問

数列{an}を
a1=5,a_{n+1}=\frac{4an-9}{an-2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．また数列{bn}を
bn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)
と定める．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)すべてのnに対して，不等式bn≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}bnを求めよ．

　国立 東京工業大学 2015年 第3問

a＞0とする．曲線y=e^{-x2}とx軸，y軸，および直線x=aで囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする．
(1)Aの体積Vを求めよ．
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき，不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ．
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ．

　国立 東京工業大学 2015年 第4問

xy平面上を運動する点Pの時刻t(t＞0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている．原点をOとし，時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする．
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき，極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ．
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t＞0)のうち，最も小さいものをt1，次に小さいものをt2とする．このとき，不等式t2-t1＜πを示せ・・・

　国立 熊本大学 2015年 第4問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第1問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 佐賀大学 2015年 第1問

a,bは定数であり，0＜a＜bとする．定積分
I=∫01a^{1-t}btdt
について，次の問に答えよ．
(1)Iを求めよ．
(2)0≦t≦1のとき，
a^{1-t}bt+atb^{1-t}≧2\sqrt{ab}
であることを示せ．また，I＞\sqrt{ab}を示せ．
(3)0＜t＜1とする．x＞1のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
xt＜1+t(x-1)
(4)(3)の不等式を利用して，I＜\frac{a+b}{2}を示せ．

　国立 大分大学 2015年 第3問

正の実数pi,qi(i=1,2,・・・,n)がΣ_{i=1}npi=Σ_{i=1}nqi=1を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)不等式logx≦x-1が成り立つことを証明しなさい．
(2)不等式Σ_{i=1}npilogpi≧Σ_{i=1}npilogqiが成り立つことを証明しなさい．
(3)F=Σ_{i=1}npilogpiの最小値を求めなさい．
(4)正の実数ai(i=1,2,・・・,n)に対して，G=Σ_{i=1}nailogaiの最小値・・・