「不等式」について

　国立 九州工業大学 2015年 第3問

nを2以上の自然数とし，関数f(x)をf(x)=xnlogx(x＞0)とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx+1/x＞0を証明せよ．
(2)\lim_{x→+0}xnlogx=0を示せ．
(3)関数f(x)の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をcnとし
In=∫_{cn}1f(x)dx
とする．\lim_{n→\inft・・・

　国立 徳島大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)tanx/2=mとするとき，等式sinx=\frac{2m}{1+m2},cosx=\frac{1-m2}{1+m2}が成り立つことを示せ．
(2)-π＜x＜π/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
sinx+cosx≧tanx/2

　国立 徳島大学 2015年 第3問

cを実数とする．数列{an}は次を満たす．
a1=1,a_{n+1}=\frac{{an}2+cn-4}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3をcを用いて表せ．
(2)a1+a3≦2a2のとき，不等式an≧3(n=3,4,5,・・・)を示せ．
(3)a1+a3=2a2のとき，極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 弘前大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦1/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
-x2-x≦log(1-x)≦-x
(2)数列{an}を次によって定める．
\begin{array}{rcl}
a1&=&(1-\frac{1}{2・12})\
a2&=&(1-\frac{1}{2・22})(1-\frac{2}{2・22})\phantom{\frac{[]}{2}}\
&\vdots&\
an&=&(1-\frac{1}{2n2}・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 福岡教育大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aを定数とし，0＜a＜1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n

　国立 福岡教育大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aは正の定数で，a≠1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n

　国立 富山大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 富山大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・