「不等式」について

　私立 北海道文教大学 2011年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)2x3-16を因数分解しなさい．
(2)\sqrt{7-\sqrt{48}}の二重根号をはずして簡単にしなさい．
(3)不等式x-4＜-3x+2≦x+6を解きなさい．
(4)2次方程式3x2-6x+1=0の実数解の個数を求めなさい．
(5)tanθ=-3(0°≦θ≦180°)のとき，cosθの値を求めなさい．
\mon6人の生徒を2人ずつ3組に分ける分け方は何通りあるか求めなさい．

　私立 中央大学 2011年 第2問

対数関数
f(x)=log2x,g(x)=log_{1/4}x
に対し，3つの不等式
x≧1,y≦f(x),y≧g(x)
によって定められるxy平面上の領域をDとする．また，xy平面上の点P(x,y)でx,yがともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦8であるもの」の総数を求めよ．
(3)「Dに属する格子点P(x,y)でx≦33,y≧1であるもの」・・・

　私立 中央大学 2011年 第3問

c0,・・・,c3を係数とする3次関数f(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0は，4つの条件
f(0)=a,f´(0)=1,f(1)=b,f(-1)=1
を満たしている．ここでaおよびbは実数でb≠3であり，f´(x)はf(x)の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)f(x)をa,bを用いて表せ．
(2)3次関数f(x)に対し，2次関数g(x)と定積分Sを
g(x)=f(x)-c3x3,S=∫_{-1}1g(x)dx
と定める．定積分Sの値をa,bを用いて表せ．
(3)a,bが3つの・・・

　私立 福岡大学 2011年 第1問

次の[]をうめよ．
(1)等式4x2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4がxについての恒等式となるように定数a,bの組を定めると，(a,b)=[]である．また，このとき2次方程式4x2+ax+b=0の2つの解をα,βとすると，\frac{β2}{α}+\frac{α2}{β}の値は[]である．
(2)0≦x≦πのとき，方程式2sin2x+5cosx+1=0を解くと，x=[]である．また，0≦y≦2πとするとき，不等式cos2y+siny≧0を満たすyの・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第3問

s,tを実数とし，座標平面上の4点A(-1,0)，B(1,0)，P(0,t)，Q(s,t)を考える．次の問いに答えよ．
(1)不等式\sqrt{(1+s)2+t2}≧\frac{1+t2+s}{\sqrt{1+t2}}が成り立つことを示せ．
(2)不等式PA+PB≦QA+QBが成り立つことを示せ．

　公立 高知工科大学 2011年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式ex＞1+x+\frac{x2}{2}が成り立つことを証明せよ．
(2)\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を証明せよ．
(3)関数y=xe^{-x}の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)nを自然数とする．In=∫0nxe^{-x}dxを計算し，\lim_{n→∞}Inを求めよ．

　公立 県立広島大学 2011年 第4問

不等式
log2(2y-1)-1≧log2(1-x)≧log2y-log2x-2
の表すxy平面上の領域をDとする．
(1)Dを図示せよ．
(2)Dの面積を求めよ．
(3)点(x,y)がDを動くとき，z=xyの最大値を求めよ．

　公立 滋賀県立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)nを2以上の自然数とするとき，不等式∫1nlogxdx＜log1+log2+・・・+lognが成り立つことを示せ．
(2)aを正の実数とするとき，上の不等式を用いて\lim_{n→∞}\frac{an}{n!}=0を示せ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{(2+\frac{n}{n+1})n}{n!}を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第2問

実数の数列{an}_{n=1,2,・・・}は，任意の正整数p,qに対して不等式
|a_{p+q|-ap-aq}＜1
を満たしているとする．
(1)任意の正整数nと，2以上の任意の整数kに対して，不等式
|a_{kn|-kan}＜k-1
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数n,kに対して，不等式
|na_{n+k|-(n+k)an}＜2n+k-2
が成り立つことを証明せよ．

　国立 東京大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数kに対して，次の不等式を示せ．
\frac{1}{2(k+1)}＜∫01\frac{1-x}{k+x}dx＜1/2k
(2)m＞nであるようなすべての自然数mとnに対して，次の不等式を示せ．
\frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}＜logm/n-Σ_{k=n+1}m1/k＜\frac{m-n}{2mn}