「不等式」について

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a＞0,b＞0に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．
a2-b2＞0　ならば　a-b＞0　である．　
(2)実数x,yがxy＞0をみたすとき，不等式|x+y|＞|x-y|を証明せよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
sinα-sinβ=2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}
(2)次の不等式を証明せよ．|sinα-sinβ|≦|α-β|\\
必要ならば，実数θに対して成り立つ不等式|sinθ|≦|θ|を用いてよい．
(3)数列{an}を，次の条件によって定める．
a1=π/2,a_{n+1}=1/2sinan+π/2(n=1,2,3,・・・・

　公立 会津大学 2010年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
-1/n+\frac{1}{(n+1)2}＜-\frac{1}{n+1}
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
1+\frac{1}{22}+\frac{1}{32}+・・・+\frac{1}{(n+1)2}＜2-\frac{1}{n+1}

　公立 横浜市立大学 2010年 第3問

nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
に対し，n個の積Anを
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),A1=A
とおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式
A(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})
をみたすとする．以下の問いに答えよ・・・