「不等式」について

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第7問

n=1,2,3,・・・に対し，xの関数fn(x)を
fn(x)=Σ_{k=1}n\frac{{(-1)}^{k-1}}{k}xk=x+・・・+\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}xn
で定める．ただし，0≦x＜1とする．以下の問いに答えよ．
(1)|f_{n+1|(1/2)-fn(1/2)}≦\frac{1}{1000(n+1)}を満たすようなnの最小値を求めよ．
(2)\lim_{n→∞}{fn}´(x)を求めよ．
(3)nが偶数であるとき，不等式fn(x)\le・・・

　国立 東京大学 2014年 第4問

p,qは実数の定数で，0＜p＜1，q＞0をみたすとする．関数
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式1+x≦exがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)0＜x＜1のとき，0＜f(x)＜1であることを示せ．
(2)x0は0＜x0＜1をみたす実数とする．数列{xn}の各項xn(n=1,2,3,・・・)を，
xn=f(x_{n-1})
によって順次定める．p＞qであるとき，
\lim_{n→∞}xn=0
となること・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)定積分∫0^{\sqrt{π/2}}x3cos(x2)dxを求めよ．
(2)0＜x＜1のとき，不等式
(\frac{x+1}{2})^{x+1}＜xx
が成り立つことを示せ．

　国立 京都大学 2014年 第4問

実数の定数a,bに対して，関数f(x)を
f(x)=\frac{ax+b}{x2+x+1}
で定める．すべての実数xで不等式
f(x)≦f(x)3-2f(x)2+2
が成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ．

　国立 京都大学 2014年 第4問

次の式
a1=2,a_{n+1}=2an-1(n=1,2,3,・・・)
で定められる数列{an}を考える．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)次の不等式
{an}2-2an＞10^{15}
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，0.3010＜log_{10}2＜0.3011であることは用いてよい．

　国立 広島大学 2014年 第4問

α＞1とする．数列{an}を
a1=α,a_{n+1}=\sqrt{\frac{2an}{an+1}}(n=1,2,3,・・・)
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1)an＞1(n=1,2,3,・・・)
(2)√x-1≦1/2(x-1)(　ただし，　x＞1　とする．　)
(3)an-1≦(1/4)^{n-1}(α-1)(n=1,2,3,・・・)

　国立 大阪大学 2014年 第2問

t＞0において定義された関数f(t)は次の条件（ア），（イ）を満たす．
\mon[（ア）]t＞0のとき，すべての実数xに対して不等式
t・\frac{ex+e^{-x}}{2}+f(t)≧1+x
が成り立つ．
\mon[（イ）]t＞0に対して，等式
t・\frac{ex+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x
を満たす実数xが存在する．
このとき，f(t)を求めよ．

　国立 東京工業大学 2014年 第2問

a＞1とし，次の不等式を考える．
(*)\frac{et-1}{t}≧e^{t/a}
(1)a=2のとき，すべてのt＞0に対して上の不等式(*)が成り立つことを示せ．
(2)すべてのt＞0に対して上の不等式(*)が成り立つようなaの範囲を求めよ．

　国立 広島大学 2014年 第4問

α＞1とする．数列{an}を
a1=α,a_{n+1}=\sqrt{\frac{2an}{an+1}}(n=1,2,3,・・・)
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．
(1)an＞1(n=1,2,3,・・・)
(2)√x-1≦1/2(x-1)(　ただし，　x≧0　とする．　)
(3)an-1≦(1/4)^{n-1}(α-1)(n=1,2,3,・・・)

　国立 岡山大学 2014年 第3問

座標平面において，行列A=(\begin{array}{cc}
1&0\
2&3
\end{array})の表す一次変換をfとする．
(1)0≦θ＜2πのとき，点P(2+cosθ,sinθ)をfで移した点Qの座標を求めよ．
(2)不等式a1≦x≦a2，b1≦y≦b2の表す領域をTとする．0≦θ＜2πを満たすすべてのθに対して，(1)で求めた点Qが領域Tに入るとする．Tの面積が最小となるときのa1,a2,b1,b2を求めよ．
(3)不等式・・・