「不等式」について

　国立 東北大学 2014年 第4問

不等式1≦x2+y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする．Pを円x2+y2=1上の点，QとRを円x2+y2=4上の異なる2点とし，三角形PQRは領域Dに含まれているとする．a,bを実数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})の表す1次変換によりPはP´，QはQ´，RはR´に移されるとする．このとき，三角形P´Q´R´が領域Dに含まれるためのa,・・・

　国立 東北大学 2014年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数，aを正の定数として，
f(x)=(n+1){log(a+x)-log(n+1)}-n(loga-logn)-logx
とおく．x＞0における関数f(x)の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)nが2以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
1/nΣ_{k=1}n\frac{k+1}{k}＞(n+1)^{1/n}

　国立 熊本大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)正の実数a,b,cについて，不等式
\frac{loga}{a}+\frac{logb}{b}+\frac{logc}{c}＜log4
が成立することを示せ．ただし，logは自然対数とし，必要ならe＞2.7およびlog2＞0.6を用いてもよい．
(2)自然数a,b,c,dの組で
a^{bc}b^{ca}c^{ab}=d^{abc},a≦b≦c,d≧3
を満たすものをすべて求めよ．

　国立 熊本大学 2014年 第3問

rをr＞1である実数とし，数列{an}を次で定める．
a1=1,a_{n+1}=\frac{an+r2}{an+1}
以下の問いに答えよ．
(1)nが奇数のときan＜r，nが偶数のときan＞rであることを示せ．
(2)任意の自然数nについて，a_{n+2}-rをanとrを用いて表せ．
(3)任意の自然数nについて，次の不等式を示せ．
\frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}＜(\frac{r-1}{r+1})2
(4)\lim_{n→∞}a_{2n}および\lim_{n→∞}a_{2n+1}を求めよ．
\end{・・・

　国立 新潟大学 2014年 第5問

自然数nに対して，an=∫01\frac{x2+(-x2)^{n+1}}{1+x2}dxとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，不等式
|∫01\frac{x2|{1+x2}dx-an}≦\frac{1}{2n+3}
が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫01\frac{x2}{1+x2}dxを求めよ．
(3)自然数nに対して，an=Σ_{k=1}n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}となることを示せ．
(4)極限値\displayst・・・

　国立 信州大学 2014年 第4問

関数f(x)は，f^{\prime\prime}(x)＜0をみたすとする．t≧0のとき，次の(1)，(2)の不等式が成り立つことを示せ．
(1)f(0)+f´(t)t≦f(t)≦f(0)+f´(0)t
(2)\frac{f(0)t+f(t)t}{2}≦∫0tf(u)du≦f(0)t+\frac{f´(0)}{2}t2

　国立 信州大学 2014年 第5問

すべての実数x,yに対して不等式
\frac{1}{1+x2+(y-x)2}≦\frac{a}{1+x2+y2}
が成り立つとき，aの値の範囲を求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0＜θ＜πのとき，不等式cos3θ+4cos2θ＜0を満たすθの値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACの中点をEとする．2直線BEとCDの交点をPとするとき，ベクトルベクトルAPをベクトルABとベクトルACを用いて表せ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{1}{2+4+6+・・・+2n}の和を求めよ．
{\bf補足説明}
設問中・・・

　国立 岩手大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，aは定数で，a＞0，a≠1を満たすものとする．
a^{2x}-ax-6＜0
(2)三角形ABCにおいて，AB=2，AC=5，∠A={60}°とする．∠Aの二等分線と辺BCとの交点をPとするとき，BPの長さを求めよ．
(3)赤玉4個と白玉5個が入った袋がある．無作為に玉を2個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，aは定数で，a＞0，a≠1を満たすものとする．
a^{2x}-ax-6＜0
(2)三角形ABCにおいて，AB=2，AC=5，∠A={60}°とする．∠Aの二等分線と辺BCとの交点をPとするとき，BPの長さを求めよ．
(3)赤玉4個と白玉5個が入った袋がある．無作為に玉を2個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．