「不等式」について

　国立 帯広畜産大学 2014年 第2問

関数f(x)をf(x)=-7+k∫06|x-u|duと定義する．ただし，kは定数，f(3)=-5である．次の各問に答えなさい．
(1)kの値を求めなさい．
(2)y=f(x)のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数s,tが条件0≦s≦20，0≦t≦20を満たしながら動くとき，xy座標平面上の点
P(1/2s+1/10t,-1/4s-1/5t)
が動く領域Dを求めなさい．
(4)不等式y≧f(x)の表す領域をEとするとき，領域Eと領・・・

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 琉球大学 2014年 第2問

a,bを実数とし，放物線y=x(x-a)をCとする．次の問いに答えよ．
(1)C上の点(t,t(t-a))におけるCの接線の方程式を求めよ．
(2)点(b,0)からCに，相異なる2本の接線が引けるとする．このときa,bがみたす不等式を求め，その不等式が表す領域を，ab平面に図示せよ．
(3)Cとx軸が囲む部分の面積をS(a)とする．関数y=S(a)(-2≦a≦2)のグラフをかけ．

　国立 宮崎大学 2014年 第5問

不等式
logxy＜2+3logyx
の表す領域を座標平面上に図示せよ．

　国立 琉球大学 2014年 第3問

整数m,nはm≧1，n≧2をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，y=logxの第1次導関数y´と第2次導関数y^{\prime\prime}を求めよ．
(2)座標平面上の3点A(m,logm)，B(m+1,logm)，C(m+1,log(m+1))を頂点とする三角形の面積をSmとする．Smをmを用いて表せ．
(3)f(m)=logm+Sm-∫m^{m+1}logxdxとおく．f(m)＜0が成り立つことを，y=logxのグラフを用いて説明せよ．
(4)f(1)+f(2)+・・・+f・・・

　国立 琉球大学 2014年 第4問

1個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品はAとBの2種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が6のときは，景品Aをもらえる．
出た目の数が4,5のときは，景品Bをもらえる．
出た目の数が1,2,3のときは，景品はもらえない．
景品Aと景品Bの2種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうどn回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率をpn・・・

　国立 弘前大学 2014年 第2問

f(x)=x/{2x}とし，f´(x)をf(x)の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数cを0≦c≦2とする．このとき，0≦x≦2を満たすxに対して，不等式
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)nを自然数とする．x1,x2,・・・,xnは0以上の実数で，x1+x2+・・・+xn=2を満たすとする．このとき，不等式
f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn)≦nf・・・

　国立 弘前大学 2014年 第4問

数列{an},{bn}を，
{\begin{array}{lll}
a1=1,&a_{n+1}=\sqrt{2bn+1}&(n=1,2,3,・・・)\
b1=3,&b_{n+1}=\sqrt{2an+1}&(n=1,2,3,・・・)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)α=1+√2とする．自然数nに対して，不等式|a_{n+1|-α}≦(\frac{2}{1+α})|bn-α|が成り立つことを示せ．
(2)極限値\lim_{n→∞}an，\・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2014年 第3問

xy平面内の直線Lをx-ay+a2-1=0とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)直線Lとx軸との交点の座標をaを用いて表せ．
(2)直線Lはaが0でないときy軸と交わる．このときのy軸との交点の座標をaを用いて表せ．
(3)直線L上の点(x,y)がとりえる範囲を，xとyに関する不等式で表せ．
(4)(3)で求めた範囲の境界を曲線Cとする．直線Lと曲線Cが接することを示し，接点の座標をaを用いて表せ．
(5)a＞0のとき，直線Lと(4)の曲線Cおよびx軸で囲ま・・・

　国立 徳島大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x-2/xのグラフの概形をかけ．
(2)不等式|x-2/x|＜1を解け．