「体積」について

　国立 東京大学 2015年 第3問

aを正の実数とし，pを正の有理数とする．座標平面上の2つの曲線y=axp(x＞0)とy=logx(x＞0)を考える．この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし，その共有点をQとする．以下の問いに答えよ．必要であれば，\lim_{x→∞}\frac{xp}{logx}=∞を証明なしに用いてよい．
(1)aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ．
(2)この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ．
(3)(2)で得ら・・・

　国立 京都大学 2015年 第1問

2つの関数y=sin(x+π/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦π/2の部分で囲まれる領域を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2015年 第4問

座標空間のx軸上に動点P，Qがある．P，Qは時刻0において，原点を出発する．Pはx軸の正の方向に，Qはx軸の負の方向に，ともに速さ1で動く．その後，ともに時刻1で停止する．点P，Qを中心とする半径1の球をそれぞれA,Bとし，空間でx≧-1の部分をCとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻t(0≦t≦1)における立体(A∪B)∩Cの体積V(t)を求めよ．
(2)V(t)の最大値を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第3問

座標空間内に，原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球がある．下の概略図のように，y軸の負の方向から仰角π/6で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル(0,√3,-1)に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)球のz≧0の部分がxy平面上につくる影を考える．kを-1＜k＜1を満たす実数とするとき，xy平面上の直線x=kにおいて，球の外で光が当たらない部分のy座標の範囲をkを用いて表せ．
\・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第4問

四面体OAPQにおいて，∠AOP=∠AOQ=∠POQ={60}°，OA=1，OP=p，OQ=qとし，頂点Aから平面OPQに下ろした垂線をAHとする．ただし，p≦qとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルAP・ベクトルAQをp,qを用いて表せ．
(2)AHの長さを求めよ．
(3)p+q=3，および△APQの面積が1のとき，以下の値を求めよ．
(1)pq\qquad(2)p\qquad(3)　四面体　\t・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第3問

次の\tocichi，\tocniに答えよ．
\mon[\tocichi]次の5つの定積分を求めよ．（\tocni(4)で用いる．）
I1=∫0^πxsinxdx,I2=∫0^πx2cosxdx,I3=∫0^πsin2xdx
I4=∫0^πxcosxsinxdx,I5=∫0^πsin2xcosxdx
\mon[\tocni]関数y=sinxのグラフを曲線Cとする．C上の点O(0,0)における接線をℓ1・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第4問

四面体ABCDは
(i)BA=\sqrt{66}，BC=7，BD=\sqrt{65}
(ii)ベクトルBA・ベクトルBC=28，ベクトルBC・ベクトルBD=35，ベクトルBD・ベクトルBA=40
を満たす．頂点Aから平面BCDに下ろした垂線をAHとする．
(1)辺ACの長さを求めよ．
(2)ベクトルBHをベクトルBC，ベクトルBDを用いて表せ．
(3)線分CHの長さを求めよ．
(4)面ABCを直線\ten{A・・・

　国立 東北大学 2015年 第5問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=BC=1，AB=AC=xとする．頂点Oから平面ABCに垂線を下ろし，平面ABCとの交点をHとする．頂点Aから平面OBCに垂線を下ろし，平面OBCとの交点をH´とする．
(1)ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，ベクトルOH=pベクトルa+qベクトルb+rベクトルc，\overrightarrow{OH´}=sベクトルb+tベクトルcと表す．・・・