「体積」について

　公立 名古屋市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)方程式log3(x-1)+log9(x+9)-1=0を解け．
(2)1辺の長さが1の正方形の紙から右図のように高さがxの合同な4枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積Vが最大となるxと，その時の体積Vの最大値を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　公立 名古屋市立大学 2014年 第2問

空間に四面体ABCDと点P，Qがあり，
\begin{array}{l}
4ベクトルPA+5ベクトルPB+6ベクトルPC=ベクトル0\
4ベクトルQA+5ベクトルQB+6ベクトルQC+7ベクトルQD=ベクトル0
\end{array}
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAPをベクトルAB，ベクトルACを用いて表せ．
(2)三角形PABと三角形PBCの面積比を求めよ．
(3)四面体QABCと四面体QBCDの体積比を求めよ．

　公立 北九州市立大学 2014年 第4問

Oを原点とする座標空間内に3点A(2,0,0)，B(-2,2,0)，C(2,-2,4)がある．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルAB，ベクトルACの大きさ|ベクトルAB|，|ベクトルAC|を求めよ．また，∠BAC=θとするときcosθの値を求めよ．
(2)3点A，B，Cの定める平面をαとし，Oから平面αに引いた垂線と平面αとの交点をHとする．また，ベクトルOH=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOC，・・・

　公立 京都府立大学 2014年 第3問

区間-1≦x≦1で定義された連続関数f(x)を
12xf(x)+12∫0xf(t)dt=15x3|x|-16x3,f(0)=0
によって定める．曲線C:y=f(x)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(3)曲線Cと直線ℓ:y=aとの区間-1≦x≦1における共有点の個数を，aの値によって分類せよ．
(4)曲線Cと3直線y=-1，x=-1，x=1で囲まれる部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=1とする．∠AOB=60°，∠BOC=45°，∠COA=45°とし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．点Cから面OABに垂線を引き，その交点をHとする．
(1)ベクトルベクトルOHをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)CHの長さを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第6問

半径1の円を底面とする高さ\frac{1}{√2}の直円柱がある．底面の円の中心をOとし，直径を1つ取りABとおく．ABを含み底面と45°の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分をVとする．
(1)直径ABと直交し，Oとの距離がt(0≦t≦1)であるような平面でVを切ったときの断面積S(t)を求めよ．
(2)Vの体積を求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=1とする．∠AOB=60°，∠BOC=45°，∠COA=45°とし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．点Cから面OABに垂線を引き，その交点をHとする．
(1)ベクトルベクトルOHをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)CHの長さを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 大阪大学 2013年 第4問

xyz空間内の3点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)を頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする．円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．