「体積」について

　国立 東京工業大学 2015年 第3問

a＞0とする．曲線y=e^{-x2}とx軸，y軸，および直線x=aで囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする．
(1)Aの体積Vを求めよ．
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき，不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ．
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ．

　国立 鳥取大学 2015年 第4問

-π/2≦x≦π/2において，2曲線y=cosx，y=sin2xで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めたい．次の問いに答えよ．
(1)2曲線y=cosx，y=sin2xの交点のx座標をすべて求めよ．ただし，-π/2≦x≦π/2とする．
(2)体積Vを求めよ．

　国立 九州工業大学 2015年 第4問

関数f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x}(x≧1)と曲線C:y=f(x)について，次に答えよ．
(1)区間x＞1で，f(x)は増加し，曲線Cは上に凸であることを示せ．
(2)曲線Cの点(√2,f(√2))における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線ℓと曲線Cおよびx軸で囲まれた図形をDとする．Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
(4)(3)で定めた図形Dの面積Sを求めよ．

　国立 徳島大学 2015年 第3問

座標空間においてO(0,0,0)，A(3,-3,6)，B(-1,1,2)とし，線分ABをOA:OBに内分する点をCとする．さらに，ベクトルOA⊥ベクトルCD，ベクトルOB⊥ベクトルCD，OD=3√3を満たす点をDとする．
(1)ベクトルOC，ベクトルODを求めよ．
(2)四面体OABDの体積を求めよ．

　国立 徳島大学 2015年 第2問

座標空間においてO(0,0,0)，A(3,-3,6)，B(-1,1,2)とし，線分ABをOA:OBに内分する点をCとする．さらに，ベクトルOA⊥ベクトルCD，ベクトルOB⊥ベクトルCD，OD=3√3を満たす点をDとする．
(1)ベクトルOC，ベクトルODを求めよ．
(2)四面体OABDの体積を求めよ．

　国立 徳島大学 2015年 第1問

四面体OABCにおいてOA=2，OB=OC=1，BC=\frac{\sqrt{10}}{2}，∠AOB=∠AOC={60}°とする．点Oから平面ABCに下ろした垂線をOHとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとして次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaの値を求めよ．
(2)ベクトルOHをベクトルa，ベクトルb，\vec・・・

　国立 弘前大学 2015年 第3問

側面の展開図が，半径10，中心角xの扇形である円錐を作る．この円錐の体積の最大値と，そのときのxの値を求めよ．ただし，0°＜x＜{360}°とする．

　国立 佐賀大学 2015年 第2問

a,b,cを正の定数とし，3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)の定める平面をαとする．また，原点をOとし，平面αに垂直な単位ベクトルをベクトルn=(n1,n2,n3)とする．ただし，n1＞0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルnを求めよ．
(2)平面α上に点Hがあり，直線OHはαに垂直であるとする．ベクトルOHおよび|ベクトルOH|を求めよ．
(3)△ABCの面積をS，△OBC・・・

　国立 福岡教育大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数f(x)=x-logxの最小値を求めよ．
(2)aを1より大きい定数とし，曲線y=asinx(0≦x≦π/2)と曲線y=tanx(0≦x＜π/2)によって囲まれる部分Dの面積が1-log2であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）]aの値を求めよ．
\mon[（イ）]Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
\end・・・

　国立 福岡教育大学 2015年 第4問

aを正の定数とし，曲線y=acosx(0≦x≦π/2)と曲線y=sinx(0≦x≦π/2)とy軸によって囲まれる部分の面積が√3-1であるとする．次の問いに答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)曲線y=acosx(0≦x≦π/2)と曲線y=tanx(0≦x＜π/2)の交点を求めよ．
(3)曲線y=acosx・・・