「体積」について

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2011年 第2問

1辺の長さが2の正方形の紙を用意し，頂点をA1，A2，A3，\\
A4と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ\\
1-t(0＜t＜1)の4つの二等辺三角形△A1A2B1，\\
△A2A3B2，△A3A4B3，△A4A1B4を正方形から切り離す．\\
そして，4本の線分B1B2，B2B3，B3B4，B4B1で紙を・・・

　国立 鳥取大学 2011年 第4問

半径a\;cmの球Bを，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒v\;cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球Bを沈め始めてからt秒後までにあふれ出る水の体積をV\;cm3とするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,vは正の定数で，容器Qに球Bを完全に水没させることができるとする．
(1)Vをa,v,tの式で表せ．また変化率dV/dtが最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器Qは一辺の長さがbの正四面体から一面を取り除いた形をしてお・・・

　国立 九州工業大学 2011年 第3問

正の実数aと関数f(x)=|x2-a2|(-2a≦x≦2a)がある．y=f(x)のグラフをy軸のまわりに回転させてできる形の容器にπa2(　cm　3/　秒　)の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間をT(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さがa2(cm)になったとき，容器中の水の体積をV(cm3)とする．Vをaを用いて表せ．
(3)Tをaを用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてからt・・・

　国立 群馬大学 2011年 第1問

関数f(x)=3sinx-sin3x(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)のグラフは直線x=π/2に関して対称になることを示せ．
(2)0＜x＜πのとき，f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 山形大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x＜2πのとき，方程式6sin2x+5cosx-2=0を満たすxの値を求めよ．
(2)座標空間に4点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(-1,1,0)，D(1,1,-9)がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．

　国立 奈良教育大学 2011年 第4問

eを自然対数の底とする．関数f(x)をf(x)=log(e-x)(x＜e)とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)とx軸との交点を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とy軸との交点をPとする．点Pにおける曲線y=f(x)の接線をℓとする．直線ℓの方程式を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線ℓのグラフを描け．
(4)曲線y=f(x)と直線ℓおよびx軸によって囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{x2}logxdxおよび∫\frac{1}{x2}(logx)2dxを求めよ．
(2)実数aに対して，曲線y=1/x(a+logx)(1≦x≦e)とx軸および2直線x=1,x=eで囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする．Vをaを用いて表せ．また，aが実数全体を動くとき，Vを最小とするaの値を求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2011年 第2問

半径1の球を含む円すいの体積の最小値，およびそのときの円すいの高さと底面の半径を求めなさい．

　国立 熊本大学 2011年 第4問

xyz空間内の3点P(0,0,1)，Q(0,0,-1)，R(t,t2-t+1,0)を考える．tが0≦t≦2の範囲を動くとき，三角形PQRが通過してできる立体をKとする．以下の問いに答えよ．
(1)Kをxy平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)Kの体積を求めよ．