「体積」について

　私立 中央大学 2011年 第3問

一辺の長さがaの正方形を底面とし，高さhの正四角錐がある．下の図のように，この正四角錐に，底面が正方形の正四角柱を内接させる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)内接する正四角柱の底面の一辺の長さをxとするとき，この正四角柱の体積を求めよ．
(2)内接する正四角柱の体積が最大になるときのxの値を求めよ．また，そのときの正四角柱の体積を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 久留米大学 2011年 第4問

整数kに対して，曲線y=4e^{-x}とx軸，および直線x=kとx=k+1とで囲まれた図形の面積をSkとする．同じく，この図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積をVkとする．このとき，Sk=[7]，Vk=[8]であり，無限級数Σ_{n=1}^∞Snは[9]に，Σ_{n=1}^∞Vnは[10]に収束する．

　私立 福岡大学 2011年 第3問

f(x)=x+√2sinx(0≦x≦2π)とし，曲線y=f(x)をCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線Cとx軸および直線x=2πで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 福岡大学 2011年 第4問

曲線y=-cosx(0≦x≦π)をy軸のまわりに1回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位はcmとする．この容器に毎秒1cm3ずつ水を入れたとき，t秒後の水面の半径をrcmとし，水の体積をVcm3とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．
(1)水の体積Vをrの式で表せ．
(2)水を入れ始めてt秒後のrの増加する速度dr/dtをrの式で表せ．

　私立 京都薬科大学 2011年 第4問

四面体OABCについて，次の[]にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，[ア]:[イ]，[ウ]:[エ]および[オ]:[カ]については，もっとも簡単な整数比で表すこと．
(1)三角形ABCの重心をG，線分OGを3:2に内分する点をD，直線BDと平面AOCの交点をE，直線OEと直線ACとの交点をFとする．このとき，
ベクトルOG=[]ベクトルOA+[]ベクトルOB+[]ベクトルOC
となり，・・・

　私立 津田塾大学 2011年 第3問

次の問に答えよ．
(1)不定積分∫{(logx)}2dxを求めよ．
(2)関数y=logxのグラフをCとする．Cに接し，かつ原点を通る直線ℓの式を求めよ．
(3)Cとℓとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 青山学院大学 2011年 第2問

四面体OABCを考える．またベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．次の問に答えよ．
(1)線分ABを2:1に内分する点をDとする．このときベクトルODをベクトルa，ベクトルbを用いて表すと
ベクトルOD=\frac{[]}{[]}ベクトルa+\frac{[]}{[]}ベクトルb
である．
(2)線分BCを1:3に内分する点をEとし，直線CDとAEの交点をPとする．ベクトルOPをベクトルa，\vectit{b・・・

　私立 青山学院大学 2011年 第5問

曲線y=e^{x2}-1(x≧0)をy軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻tにおける水の体積がvtとなるように，単位時間あたりvの割合で水を注入する．ただし，vは正の定数であり，y軸の負の方向を鉛直下方とする．
(1)不定積分∫log(y+1)dyを求めよ．
(2)水面の高さがhとなったときの容器内の水の体積Vを，hを用いて表せ．ただし，hは容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さがe^{10}-1となった瞬間における，水面の高さの変化率\displ・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

a＞0，b≧0のとき，曲線y=-acosπx+a+b(0≦x≦1)をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVとすると，
V=π/2([ノ]a2+[ハ]ab+[ヒ]b2)
となる．また，ある定数cに対し2a+b=cが成り立つとすると，a=\frac{c}{[フ]}のとき，Vは最小値\frac{[ヘ]}{8}πc2をとる．

　公立 大阪市立大学 2011年 第2問

座標空間を運動する3点A，B，Cの時刻tにおける座標をそれぞれ(t,0,t)，(√2t,1-2t,√2(1-t))，(-t,-√2t,t)とする．原点をOと記すとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜t＜1/2とする．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOC,ベクトルOB⊥ベクトルOCを示せ．
(2)△ABCの面積S(t)はt(1-2t)であることを示せ．
(3)四面体OABCの体積V(t)の0＜t＜1/2における最大値を求め・・・