「体積」について

　国立 東京農工大学 2015年 第1問

点Oを原点とする座標空間上に3点A(1,-1,0)，B(1,1,4)，C(4,3,5)をとる．次の問いに答えよ．
(1)平面OABに関して点Cと対称な点をDとする．ベクトルベクトルODを適当な実数s,t,uを用いて
ベクトルOD=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOC
と表したとき，s,t,uの値を求めよ．
(2)四面体OABCの体積を求めよ．
(3)点Oと平面ABCの距離を求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第3問

1辺の長さが1の正四面体をOABCとし，Aから平面OBCに下した垂線をAHとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルcの値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトルAHをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ．
(3)ベクトルAHの大きさ|ベクトルAH|を求めよ．
(4)△OBCの面積を求めよ．
\m・・・

　国立 長岡技術科学大学 2015年 第4問

放物線y=x2-2x+1と直線y=4とで囲まれた図形をDとするとき，下の問いに答えなさい．
(1)Dの面積Sを求めなさい．
(2)Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めなさい．

　国立 群馬大学 2015年 第5問

すべての実数xにおいて，関数f(x)は微分可能で，その導関数f´(x)は連続とする．f(x)，f´(x)が等式
∫0x\sqrt{1+(f´(t))2}dt=-e^{-x}+f(x)
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と直線x=1，およびx軸，y軸で囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第1問

aを定数とする．x＞0における関数
f(x)=logx+ax2-3x
について，曲線y=f(x)はx=\frac{1}{√2}で変曲点をもつとする．
(1)aを求めよ．
(2)kを定数とするとき，方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸，および2直線x=1，x=2で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第3問

Oを原点とするxyz空間内の2点をA(3,-1,2)，B(0,5,8)とする．ベクトルAB=3ベクトルAPを満たす点Pを通り，直線ABに垂直な平面αを考える．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Pの座標を求めよ．
(2)平面αがx軸，y軸，z軸と交わる点をそれぞれL，M，Nとするとき，四面体OLMNの体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第4問

xy平面において，関数y=\frac{1}{√x}が表す曲線をCとし，C上の点P(t,\frac{1}{√t})を考える．ただし，t＞0とする．点Pにおける曲線Cの接線がx軸と交わる点をQとする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を求めよ．
(2)曲線C，x軸，直線x=t，および点Qを通りx軸に垂直な直線で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分PQの長さをL(t)・・・

　私立 立教大学 2015年 第4問

kを実数とする．曲線C:y=(x2-1)2と直線ℓ:y=kについて，次の問いに答えよ．
(1)曲線Cと直線ℓの共有点が異なる4点となるようなkの値の範囲を求めよ．
(2)kが(1)で求めた範囲にあるとき，曲線Cと直線ℓの共有点のx座標を小さい順にx1，x2，x3，x4とする．x1，x2，x3，x4をそれぞれkを用いて表せ．
(3)kが(1)で求めた範囲にあるとき，曲線Cと直線ℓで囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをkを用いて表せ．
(4)(3)で・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

a＞0とし，関数f(x)を
f(x)=-acosx+1/2a2cos2x\qquad(-π＜x＜π)
と定める．
(1)f(x)の最小値は，a≦[ア]のとき[イ]であり，a≧[ア]のとき[ウ]である．ただし，[ア]には数，[イ]と[ウ]にはaの多項式を記入すること．
(2)曲線y=f(x)がx軸と接するのはa=[エ]のときである．
(3)a=[エ]とする．曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積は[オ]であり，その部分をx軸の周りに1回転させ・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第5問

a＞0とする．xy平面上に点A(-√2a,0)，B(√2a,0)を固定する．動点P(x,y)は条件AP+BP=4aをみたすものとする．次の問に答えよ．
(1)点Pの軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)(1)の曲線の-√2a≦x≦√2aの部分と，直線x=-√2a，直線x=√2aで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体を考える．この立体の体積Vを求めよ．
(3)(2)の立体の表面積Sを求めよ．ここ・・・