「体積」について

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第2問

座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をαt(　P　)，その外部の領域をβt(　P　)で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答え・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

xy平面における原点Oと点A(3,2)に対して，次の問いに答えよ．
(1)傾きが4/3で，点Aを通る直線ℓの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線ℓの点Aにおける法線をmとする．直線mの方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線ℓとx軸との交点をB，(2)で求めた直線mとy軸との交点をCとする．図形OBACをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 福井大学 2010年 第1問

空間内に4点O，A，B，Cがあり，　OA　=　OB　=√5,　OC　=1である．また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくと，ベクトルa・ベクトルb=4,ベクトルb・ベクトルc=1が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルDA,ベクトルECをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルcのとりうる値の範囲を・・・

　国立 長崎大学 2010年 第6問

xyz空間において，底面の半径が2，高さが4である直円柱
{
\begin{array}{l}
x2+y2≦4\\
0≦z≦4
\end{array}
.
を考える．この円柱内で，さらに
{
\begin{array}{l}
z≦(x-2)2\\
z≦y2
\end{array}
.
を満たす点(x,y,z)からなる立体をVとする．次の問いに答えよ．
(1)立体Vを平面x=t(-2≦t≦2)で切った切り口の面積をA(t)とする．A(t)をtを用いて表せ．
(2)立体Vの体積を求めよ．

　国立 東京学芸大学 2010年 第3問

図のような1辺の長さaの立方体ABCD-EFGHがある．線分AF，BG，CH，DE上にそれぞれ動点P，Q，R，Sがあり，頂点A，B，C，Dを同時に出発して同じ速さで頂点F，G，H，Eまで動く．このとき，四角形PQRSが通過してできる立体の体積を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　国立 群馬大学 2010年 第1問

三角錐OABCにおいて，AB=2√3,OA=OB=OC=AC=BC=√7とする．このとき，三角錐OABCの体積を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第4問

各点の座標が(x,y,z)で表される空間で，ある立方体の3頂点がA(2,2,3)，B(2,0,1)，C(6,0,1)であるとする．
(1)2頂点A，Cを通る直線とxy平面の交点をPとするとき，線分APの長さを求めよ．
(2)この立方体の体積を求めよ．
(3)この立方体の頂点Xで，∠　BXC　=60°となるものすべてについてそれらの座標を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．