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座標平面上に,点(0,1)を中心とする半径1の円と点P(0,h)(0<h<2)がある.点Pを通る直線y=hと円との交点で第1象限にあるものをQとする.曲線C:y=αx2は点Qを通るとし,y軸と曲線Cおよび線分PQで囲まれた部分を図形Aとする.次の問いに答えよ.
(1)αをhを用いて表せ.
(2)図形Aの面積Sをhの式で表し,Sの最大値を求めよ.
(3)図形Aをy軸の周りに1回転してできる立体の体積Vをhの式で表し,Vの最大・・・
国立 東京農工大学 2010年 第1問Oを原点とする座標空間にある,中心C(1,1,\sqrt{10}),半径3√3の球面をSとする.次の問いに答えよ.
(1)Sとx軸の正の部分との交点をPとし,Sとy軸の正の部分との交点をQとする.P,Qの座標を求めよ.
(2)2点O,Cを通る直線とSとの交点のうち,z座標が正であるものをRとする.Rの座標を求めよ.
(3)四面体OPQRの体積Vを求めよ.
(4)4点O,P,Q,Rを通る球面の半径r1を求めよ.
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径をr2とする.このとき,\frac{r1}{r2}の値を・・・
国立 九州工業大学 2010年 第2問実数θ(0<θ<π/2)に対して行列Aを
A=(\begin{array}{rr}
cos2θ&sin2θ\
-sin2θ&cos2θ
\end{array})
とする.また,実数k(k>0)に対して,x,yは
(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})+(\begin{array}{c}
0\
k
\end{array})
を満たす.そして,x,y,kを用いて座標平面上の2点P(x,y),Q(0,k)・・・
国立 宮城教育大学 2010年 第5問関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える.ただし,αは定数とする.次の問いに答えよ.
(1)xを定数とみて,u=x-tとおく.置換積分法を用いて,
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ.
(2)導関数f´(x)を求めよ.
(3)関数f(x)を求めよ.
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
\end{・・・
私立 早稲田大学 2010年 第4問xyz空間において,2点P(1,0,1),Q(-1,1,0)を考える.線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする.以下の問に答えよ.
(1)曲面Sと,2つの平面x=1およびx=-1で囲まれる立体の体積を求めよ.
(2)(1)の立体の平面y=0による切り口を,平面y=0上において図示せよ.
(3)定積分∫01\sqrt{t2+1}dtの値をt=\frac{es-e^{-s}}{2}と置換することによって求めよ.
これを用いて,(2)の切り口の面積を求めよ.
私立 早稲田大学 2010年 第1問[ア]~[オ]にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)整数a,bが2a+3b=42を満たすとき,abの最大値は[ア]である.
(2)三角形ABCにおいて,AB=2,BC=1,CA=√2とし,∠A=α,∠B=βとする.正の整数m,nがmα+nβ=πを満たすとき,m=[イ],n=[ウ]である.
(3)数列{an}は次の3つの条件を満たしている.
(i){an}は等差数列で,その・・・
私立 金沢工業大学 2010年 第2問半径が1\;mの円形のブリキ板から,中心角が90°の扇形の部分を切り落して残りの部分で下図のような円錐形の容器を作る.
(プレビューでは図は省略します)
(1)この容器の底面の半径はr=\frac{[ク]}{[ケ]}\;m,深さはh=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}\;mである.
(2)この容器に,その深さの2/3のところまで水を入れるとき,その水の体積は\frac{\sqrt{[シ]}}{[スセ]}π\;・・・
私立 北海学園大学 2010年 第4問曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底とする.
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ.さらに,この接線が原点Oを通るとき,この接線をℓと表す.接線ℓの方程式を求めよ.
(2)接線ℓ,曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ.
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ.
私立 北海学園大学 2010年 第3問曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底とする.
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ.さらに,この接線が原点Oを通るとき,この接線をℓと表す.接線ℓの方程式を求めよ.
(2)接線ℓ,曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ.
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ.
私立 自治医科大学 2010年 第22問表面積が150πの円柱のうち,体積が最大となる円柱の底面の半径をrとするとき,rの値を求めよ.ただし,円柱の表面積は,2つの底面および側面の面積の総和である.