「体積」について

　私立 藤田保健衛生大学 2010年 第4問

半径rの球に内接する直円錐の体積は，その円錐の底面の半径が[]のときに最大値をとり，その値は球の体積の[]倍に等しい．

　私立 北星学園大学 2010年 第2問

底面の半径がa，高さが2aの円柱にちょうど入る球または円錐がある．以下の問に答えよ．
(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の1辺の長さを求めよ．

　私立 日本女子大学 2010年 第3問

aを正の実数とする．曲線C:y=\frac{1}{√x}上の点(a2,1/a)における接線をℓとする．ℓとx軸の交点のx座標をbとする．
(1)bをaの式で表せ．
(2)曲線Cと接線ℓおよび直線x=bで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 日本女子大学 2010年 第2問

図のように，表面積が2πで，底面の半径がr，高さがhの円柱がある．
(1)hをrの式で表せ．
(2)この円柱の体積が最大となるようなrとhの値を求めよ．また，そのときの体積を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 津田塾大学 2010年 第2問

空間内の4点O(0,0,0)，A(2,2,1)，B(-2,1,2)，C(1,1,1)を考える．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOBを示し，△OABの面積を求めよ．
(2)3点O，A，Bを通る平面に点Cから下ろした垂線の足をPとする．このとき，ベクトルOPは実数s,tとベクトルベクトルOA，ベクトルOBを用いてベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBと表される．s,tの値を求めよ．
(3)4点O，A，B，C・・・

　私立 津田塾大学 2010年 第4問

x≧0の範囲で関数y=√xe^{-x}のグラフをCとする．
(1)Cの概形を描け．ただし\lim_{x→∞}√xe^{-x}=0は証明せずに使ってよい．
(2)M＞0とする．曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体のうち，x≦Mの部分の体積V(M)を求めよ．
(3)極限値\lim_{M→∞}V(M)を求めよ．

　私立 玉川大学 2010年 第3問

半径1の球に内接する直方体を考える．これらの体積の最大値Mを求めたい．
(1)直方体の1つの辺の長さをxと固定したときの直方体の体積の最大値V(x)を求めよ．
(2)Mを求めよ．

　公立 首都大学東京 2010年 第2問

以下の問いに答えなさい．
(1)sを0≦s≦√2を満たす実数とする．直線y=xと直線y=-x+√2sの交点をPとする．直線y=-x+√2sと曲線y=-x2+2xの交点でx座標が1以下である点をQとし，Qのx座標をtとする．このとき，点Pと点Qの距離およびsを，tを用いて表しなさい．
(2)直線y=xと曲線y=-x2+2xで囲まれた図形を直線y=xのまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第2問

xy平面上に，原点Oを中心とする半径1の円Cがあり，点Pは円Cの周上を動く．また点Pを中心とする半径rの円Dの周上には点Qがある．いま，点Pが点(1,0)から円C上を反時計回りに動き，同時に点Qは点(1+r,0)から円D上を時計回りに動く．ただし，点Pは円C上で，点Qは円D上でともに等速円運動を行い，点Pが円Cを一周したとき点Qも円Dを一周する．次の問いに答えよ．
(1)点Pが円Cを一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)(1)の図形をy軸のまわりに回転させた時にで・・・

　公立 名古屋市立大学 2010年 第3問

一辺の長さが2aの正方形ABCDを底面とする高さhの正四角錐O-ABCDがある．ここで，辺OA，OB，OC，ODの長さはすべて等しい．正四角錐O-ABCDに内接する球をQ1とし，また正四角錐O-ABCDの4つの側面とQ1に接する球をQ2とする．以下同様にして球Q3,Q4,・・・,Qnをつくる．次の問いに答えよ．
(1)球Q1の半径r1を求めよ．
(2)球Q_{k+1}の半径r_{k+1}を球Qkの半径rkで示せ．
(3)球Qnの体・・・