「体積」について

　国立 山形大学 2014年 第2問

xy平面上の曲線C:y=√xがある．曲線C上の点P(t,√t)(t＞0)における接線をℓとする．さらに，直線ℓとx軸の交点をQとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)点Qの座標をtを用いて表せ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPRとするとき，△PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をtを用いて表せ．
(4)曲線C，直線ℓおよびx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してでき・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式x2+y2≦25,y≧4を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式x2+y2\leq25,x≧4,y≧0を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式x2+y2≦25,0≦x≦4,0≦y≦4を満たす領域の面積を求めよ．ただし，sinθ0=3/5を満たす角θ0(0＜θ0＜π/2)を使用・・・

　国立 香川大学 2014年 第3問

一辺の長さがxの正三角形ABCを底面，点Oを頂点とし，OA=OB=OCである三角錐OABCに半径1の球が内接しているとする．ただし，球が三角錐に内接するとは，球が三角錐のすべての面に接することである．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角錐OABCの体積をxを用いて表せ．
(2)この体積の最小値と，そのときのxの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第5問

一辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHがあり，辺BF上に点Pと辺DH上に点QをBP=DQ=3/4となるようにとる．点A，P，Qを含む平面と直線CGの交点をRとする．また直線PRと辺FGの交点をSとし，直線QRと辺GHの交点をTとする．このとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)四面体SGTRの体積を求めよ．
(2)△\ten{・・・

　国立 群馬大学 2014年 第4問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第3問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第5問

座標平面上の曲線Cは媒介変数t(t≧0)を用いてx=t2+2t+log(t+1)，y=t2+2t-log(t+1)と表される．C上の点P(a,b)におけるCの接線の傾きが\frac{2e-1}{2e+1}であるとする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)aとbの値を求めよ．
(2)Qを座標(b,a)の点とする．直線PQ，直線y=xと曲線Cで囲まれた図形を，直線y=xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第5問

一辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHがあり，辺BF上に点Pと辺DH上に点QをBP=DQ=3/4となるようにとる．点A，P，Qを含む平面と直線CGの交点をRとする．また直線PRと辺FGの交点をSとし，直線QRと辺GHの交点をTとする．このとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)四面体SGTRの体積を求めよ．
(2)△\ten{・・・

　国立 高知大学 2014年 第3問

関数f(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
1/2(x+1)x&(-1≦x≦0　のとき　)\
-1/2x(x-1)&(0＜x≦1　のとき　)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(2)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(3)y=f´(x)のグラフを-1＜x＜1の範囲でかき，f´(x)がx=0で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)y=f(x)のグラフとx軸・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

四面体ABCDにおいて，
AB=AC=AD=1,BC=√3,∠BDC=θ
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，π/3＜θ＜π/2とする．
(1)点Aから△BCDを含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点をHとする．線分AH，BH，CH，DHの長さを，それぞれθを用いて表しなさい．
(2)t=cosθとする．θを一定の値に保ったまま点Dが動・・・