「体積」について

　国立 山口大学 2014年 第2問

図のように，円柱Eと直円錐Fが半径1の球に内接しており，さらにEとFの底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．
（プレビューでは図は省略します）
(1)円柱Eの高さをhとするとき，円柱Eの底面の半径と直円錐Fの高さを，それぞれhを用いて表しなさい．
(2)半径1の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3)円柱Eの体積と直円錐Fの体積が等しいとする．円柱Eから直円錐Fが重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．

　国立 島根大学 2014年 第3問

点(0,5)を通る直線ℓと楕円C:\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}=1を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円Cと共有点をもつ直線ℓの方程式をすべて求めよ．
(2)楕円Cと直線ℓが接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円Cと直線ℓが第一象限で接するとき，Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第4問

0でない実数tに対して，座標空間における3点P(t,0,0)，Q(t,\frac{1}{1+t2},0)，R(t,0,\frac{t}{1+t2})を考える．以下の各問に答えよ．
(1)三角形PQRの面積をS(t)とする．実数tが1/2≦t≦1の範囲を動くとき，S(t)の最大値とそのときのtの値を求めよ．
(2)実数tが1/2≦t≦1の範囲を動くとき，三角形PQRが通過してで・・・

　国立 東京海洋大学 2014年 第3問

座標空間内の定点A(0,0,1)と2つの点P(p,p,0)，Q(q,-q,0)が∠PAQ=π/3をみたしている．ただし，p＞0，q＞0とする．また，以下においてOを座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形APQの面積はpとqの値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体OAPQの体積が最大のとき，点P，Qの座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第1問

四面体ABPQはAP=AQ=3，BP=BQ=2√2，PQ=12/5，∠APB=π/4を満たすとする．点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする．
(1)線分PHの長さを求めよ．
(2)∠PHQの大きさをθとする．sinθの値を求めよ．
(3)2つのベクトルベクトルABとベクトルPQは垂直であることを証明せよ．
(4)四面体ABPQの体積を求めよ．

　国立 電気通信大学 2014年 第2問

2つの関数
f(x)=x\sqrt{4-x2}(0≦x≦2),g(y)=\sqrt{4-y2}(0≦y≦2)
を考える．座標平面上において，曲線y=f(x)をC1とし，曲線x=g(y)をC2とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)C1とC2との共有点の座標を求めよ．
(2)関数f(x)の最大値Mを求めよ．
(3)C1とx軸とで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(4)点(x,y)がC1上にあるとき，x2をyを用いて表せ．
(5)y軸および2曲線C1，C2で囲まれた図形を，y軸の周りに1・・・

　国立 長崎大学 2014年 第4問

区間0≦x≦πにおいて，関数f(x)と関数g(x)を
f(x)=1/2cosx,g(x)=cosx/2+c
と定義する．cは定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間0≦x≦πにおいて，2曲線y=f(x)とy=g(x)がx=0以外の点で接するようにcの値を定め，接点(p,q)を求めよ．また，そのとき，区間0≦x≦πにおける関数f(x)と関数g(x)の大小関係を調べよ．
(2)定数cと接点(p,q)は(1)で求めたものとする．そのとき，区間0≦x≦pにおいて・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第4問

正四面体OABCにおいて辺OAの中点をD，辺OBを1:2に内分する点をE，辺OCをm:(1-m)に内分する点をFとする．ただし，mは0＜m＜1を満たす実数の定数とする．Eから3点O，A，Cの定める平面に垂線EHを下ろし，直線OHと線分DFの交点をIとする．三角形ODEの面積は\frac{9√3}{4}であり，四面体ODEFの体積は正四面体OABCの体積の5/54倍である．・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第3問

下図のように，等しい辺の長さがa，その挟む角（頂角）が2θである二等辺三角形を4つ使って四面体を作る．x=cos2θとおけば，四面体の体積Vは
V=\frac{[24][25]}{[26][27]}(1-[28]x)\sqrt{[29]x-1}a3
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\frac{[30]\sqrt{[31]}}{[32][33]}a3
である．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 慶應義塾大学 2014年 第4問

座標空間内の3点A(1,0,1)，B(0,2,3)，C(0,0,3)と原点Oを頂点とする四面体OABCについて考える．
四面体OABCを平面z=t(0＜t＜3)で切ったときの切り口の面積をf(t)とする．0＜t≦1のときf(t)=[ソ]である．また，1＜t＜3のとき平面z=tと辺ABの交点の座標は[タ]となり，f(t)=[チ]となる．
次に，四面体OABCにおいて，2つの平面z=tとz=t+2(0＜t＜1)の間にはさまれた部分の体積をg(・・・