「余り」について

　国立 岡山大学 2011年 第2問

数列{an}が次のように帰納的に定められている．
\begin{eqnarray}
a1&=&0\nonumber\\
a_{n+1}&=&{
\begin{array}{l}
2an(n　が奇数のとき　)\\
an+1(n　が偶数のとき　)
\end{array}
.(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{eqnarray}
(1)a_{10}を求めよ．
(2)nが奇数の場合と偶数の場合それぞれについて，a_{n+4}をanで表せ．
(3)anを3で割ったときの余りを求めよ．

　国立 神戸大学 2011年 第4問

aは正の無理数で，a3+3a2-14a+6,Y=a2-2aを考えると，XとYはともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)XとYの値を求めよ．
(3)aの値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

　国立 静岡大学 2011年 第2問

自然数a,bに対して，a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する．このときqはaをbで割った商，rはaをbで割った余りという．自然数a0,a1が与えられたとき，数列{an},{qn}は次の性質を満たすものとする．
\mon[(i)]qnはa_{n-1}をanで割った商
\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}
an\\
a_{n+1}
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&-qn
\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}
a_{n-1}\\
a_{n}
\end{array}\bi・・・

　国立 岩手大学 2011年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに関する次の命題を証明せよ．
(i)nを3で割った余りが1ならば，n2を3で割った余りは1である．
(ii)nが3の倍数であることは，n2が3の倍数であるための必要十分条件である．
(2)100から999までの3桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(i)3種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[(ii))]0が現れないものは何個あるか．
\mon[(iii)・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)正方形ABCDが図のように3つの線分EG，FH，CGに\\
よって4つの部分に分割されている．四角形AEGHは面積\\
が400の正方形になり，三角形FCGは面積が8になる．\\
このとき，正方形ABCDの面積を求めよ．
\img{711292220111}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して\\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ．\\
（答案）まず402＜2116＜502なので，2116-402=516を出す．次・・・

　国立 山形大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x＜2πのとき，方程式6sin2x+5cosx-2=0を満たすxの値を求めよ．
(2)座標空間に4点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(-1,1,0)，D(1,1,-9)がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．

　国立 和歌山大学 2011年 第3問

数列{an}を
an=\frac{10n+3(-1)n-5}{2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)anは正の奇数であることを示せ．
(2)anを5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が{an}であることを示せ．

　国立 和歌山大学 2011年 第3問

数列{an}を
an=\frac{10n+3(-1)n-5}{2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)anは正の奇数であることを示せ．
(2)anを5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が{an}であることを示せ．

　国立 宮崎大学 2011年 第5問

P(x)は，x5の係数が1であるような5次式とする．P(x)をx2-x-6で割ったときの商をQ(x)，Q(x)をx-2で割ったときの商をR(x)とおく．
P(-2)=-10,P(3)=5,Q(2)=Q(-2)=R(-3)=2
であるとき，次の各問に答えよ．
(1)P(x)をx2-x-6で割ったときの余りを求めよ．
(2)R(x)を求めよ．
(3)P(x)を求め，展開して降べきの順に整理せよ．

　国立 山形大学 2011年 第4問

次の問に答えよ．
(1)自然数p,qを自然数mで割ったときの余りをそれぞれr,sとする．このとき，pq-rsはmの倍数であることを示せ．
(2)nが自然数のとき，3nを4で割ったときの余りを求めよ．
(3)nを自然数とし，rを実数とするとき，二項展開を利用して
Σ_{k=1}n{}_{2n}　C　_{2k-1}・r^{2k-1}
を求めよ．
(4)サイコロを2n回振り，出た目をすべて掛け合わせた数をXnとする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も1/6・・・