「余り」について

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

1から6までの目が等しい確率で出るサイコロをn回投げたとき，第i回目（i=1,2,・・・,n）に出た目の数をXiとおく．そして，Xiの2乗の和Sn=X12+・・・+Xn2が3で割りきれる確率をpn，3で割った余りが1である確率をqnとする．\
次の問に答えよ．
(1)p1およびq1の値を求めよ．
(2)p2およびq2の値を求めよ．
(3)p_{n+1}およびq_{n+1}をそれぞれpnとqnを用いて表せ．
(4)an=pn-qnとおく．a_{n+2}をanを用いて表せ．
(5)anをnを・・・

　私立 南山大学 2011年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)放物線y=x2+2xをx軸方向にp，y軸方向に1/2p2だけ平行移動して得られる放物線Cの方程式を求めるとy=[ア]である．Cと直線y=xが異なる2つの点で交わるようなpの値の範囲を求めると[イ]である．
(2)3次の整式F(x)を考える．F(x)のx3の項の係数は1であり，xF(x)をx2-3x+2で割った余りは2xである．このとき，F(2)の値はF(2)=[ウ]であり，さらに，F(-1)=2であるとき，F(-2)の値はF(-2)=\kakko{・・・

　私立 名城大学 2011年 第2問

nを整数とし，xについての3次式P(x)=x(x-1)(x-2)-n(n-1)(n-2)を考える．
(1)P(x)をx-nで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)n=4のときの方程式P(x)=0の3つの解をα,β,γとする．このとき1/α+1/β+1/γの値を求めよ．
(3)方程式P(x)=0の解がすべて実数となるとき，整数nの値をすべて求めよ．

　私立 明治大学 2011年 第3問

以下の[か]から[こ]にあてはまるものを答えよ．
a,bを定数とするとき，3次の整式f(x)=x3+ax2+bx-4は，x-2で割ると-2余り，2x-1で割ると-7/8余るという．
(1)a=[か]，b=[き]である．
(2)方程式f(x)=0の解をすべて求めると，[く]である．
(3)方程式f(x)=cが異なる3つの実数解を持つような実数cの値の範囲は，[け]である．
(4)関数f(x)の区間d≦x≦d+3における最大値が0であるよ・・・

　私立 立教大学 2011年 第2問

整式P(x)は(x+1)2で割ると余りが5x+2，x-2で割ると余りが3となる．このとき，次の問に答えよ．
(1)P(x)を(x+1)(x-2)で割った余りを求めよ．
(2)P(x)を(x+1)2(x-2)で割った余りを求めよ．
(3)P(x)が5次式で，P(0)=-1，P(1)=-5，P(-2)=11を満たすものとする．このとき，P(x)を求めよ．

　私立 広島修道大学 2011年 第3問

kを定数とし，関数f(x)=x3+3x2+3kx-4は，x=αで極大値をとり，x=βで極小値をとるとする．また，xについての多項式f(x)をxについての多項式f´(x)で割った余りをR(x)とするとき，次の各問に答えよ．
(1)余りR(x)を求めよ．
(2)f(α)=R(α)であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が0となるようなkの値を求めよ．

　私立 広島修道大学 2011年 第3問

kを定数とし，関数f(x)=x3+3x2+3kx-4は，x=αで極大値をとり，x=βで極小値をとるとする．また，xについての多項式f(x)をxについての多項式f´(x)で割った余りをR(x)とするとき，次の各問に答えよ．
(1)余りR(x)を求めよ．
(2)f(α)=R(α)であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が0となるようなkの値を求めよ．