「余り」について

　私立 広島修道大学 2011年 第1問

空欄[1]から[11]にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)連立不等式
{\begin{array}{l}
x-2＞0\
2x-6≦0
\end{array}.
の解は[1]である．
(2)x3-4x2+5x+2をx-4で割った余りは[2]である．
(3)f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+2ax+bとする．放物線y=g(x)の頂点の座標が(8/3,26/9)であるとき，a=[3]，b=[4]である．また，2つの放物線y=f(x)，y=g(x)および直線x=\・・・

　私立 愛知工業大学 2011年 第1問

次の[]を適当に補え．
(1)連続する4つの自然数を小さい順にa,b,c,dとする．ac/bd=5/8のとき，a=[]である．
(2)袋の中に0と書かれたカードが1枚，1と書かれたカードが2枚，2と書かれたカードが3枚，合わせて6枚のカードが入っている．この袋から1枚ずつ4枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，2011となる確率は[]である．また，1枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを4回くり返した・・・

　私立 中央大学 2011年 第1問

正の整数m,nが次の2つの条件を満たしている．
(*){\begin{array}{l}
n　は　m　の倍数　\
　等式　2n/3=n/m+1　が成り立つ　\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
このとき，以下の設問に答えよ．
(1)nを3で割ったときの余りを求めよ．
(2)(*)を満たす組(m,n)をすべて求めよ．

　私立 福岡大学 2011年 第1問

次の[]をうめよ．
(1)方程式9^{log3x}=27を解くと，x=[]である．
また，方程式log2x+2log4(x-3)=1を解くと，x=[]である．
(2)xについての3次式P(x)をx-2で割ると商はQ(x)，余りはaで，Q(x)をx-2で割ると商はx+3，余りはbである．ただし，a,bは実数とする．方程式P(x)=0が虚数解2+iをもつとき，aとbの値を求めると，(a,b)=[]であり，方程式P(x)=0の実数解は[]である．
(3)1個のさいころを2回投げて，2回目に1・・・

　私立 京都薬科大学 2011年 第1問

次の[]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+5/6}}}}を簡単にすると，\frac{[]}{[]}となる．
(2)整式x^{2011}をx2+1で割った余りは，[]となる．
(3)対数方程式log_{x-1}(x3-3x2-x+3)=2を解くと，x=[]となる．
(4)-{90}°＜x＜0°において，\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}=8の・・・

　公立 県立広島大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3次式x3+ax2+bx+cをx-1で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)3次方程式x3+ax2+bx+c=0の解が1,cosθ,sinθであるとき，a,b,cをθを用いて表せ．
(3)(2)において，θが区間[0,2π]を動くとき，点(a,b)が描く曲線を図示せよ．

　公立 島根県立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=x2+bx+c，g(x)=x2+(b+2)x+cとする．f(2011)=0かつg(2010)=-1のとき，bとcの値を求めよ．
(2)方程式3^{2x}-2・3^{x+1}=27を解け．
(3)sinα=1/3,cosβ=-1/2のとき，sin(α+β)，cos(α-β)，tan(α-β)の値を求めよ．ただし，0＜α＜π/2，π/2＜β＜πとする．
(4)多項式P(x)を(x-5)，(x-7)で割った余りがそれぞれ3,・・・

　国立 一橋大学 2010年 第4問

0以上の整数a1,a2があたえられたとき，数列{an}を
a_{n+2}=a_{n+1}+6an
により定める．
(1)a1=1,a2=2のとき，a_{2010}を10で割った余りを求めよ．
(2)a2=3a1のとき，a_{n+4}-anは10の倍数であることを示せ．

　国立 広島大学 2010年 第3問

p,aを実数の定数とする．多項式P(x)=x3-(2p+a)x2+(2ap+1)x-aをx-3で割った余りが10-6pであり，3次方程式P(x)=0の実数解はaのみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲でP(x)を因数分解せよ．
(2)aの値を求めよ．
(3)関数y=P(x)が極値をもたないときのpの値を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)x,yが4で割ると1余る自然数ならば，積xyも4で割ると1余ることを証明せよ．
(2)0以上の偶数nに対して，3nを4で割ると1余ることを証明せよ．
(3)1以上の奇数nに対して，3nを4で割った余りが1でないことを証明せよ．
(4)mを0以上の整数とする．3^{2m}の正の約数のうち4で割ると1余る数全体の和をmを用いて表せ．