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次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・
私立 福岡大学 2015年 第1問次の[]をうめよ．
(1)x4+3x3+5x2+2x+1を(x+1)(x+2)で割ったときの余りを求めると[]である．また，a/3=b/7のとき\frac{7a3-5a2b-3ab2+9b3}{3ab(3a+b)}の値を求めると[]である．
(2)方程式3^{2x}+6x=3^{x+2}+9×2xの解は[]であり，4x+9^{log3(x-1)}=5の解は[]である．
(3)正10角形の3個の頂点を結んで3角形を作る．正10角形と1辺だけを共有する3角形は[]通りある．また，正10・・・
国立 東京大学 2014年 第5問rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・ 国立 東京大学 2014年 第4問rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
国立 大阪大学 2014年 第5問さいころを繰り返し投げ，n回目に出た目をXnとする．n回目までに出た目の積X1X2・・・XnをTnで表す．Tnを5で割った余りが1である確率をpnとし，余りが2,3,4のいずれかである確率をqnとする．
(1)pn+qnを求めよ．
(2)p_{n+1}をpnとnを用いて表せ．
(3)rn=(6/5)npnとおいてrnを求めることにより，pnをnの式で表せ．
国立 熊本大学 2014年 第4問1次関数fn(x)=anx+bn(n=1,2,3,・・・)は以下の2つの条件を満たすとする．
(i)f1(x)=x
(ii)f_{n+1}(x)は整式Pn(x)=∫1x6tfn(t)dtをx2+xで割ったときの余りに等しい．
以下の問いに答えよ．
(1)n≧1のとき，a_{n+1}，b_{n+1}をan,bnを用いて表せ．
(2)n≧2のとき，|an|と|bn|は偶数であることを示せ．
(3)n≧2のとき，|an|と|bn|は・・・
国立 岩手大学 2014年 第2問nを自然数とし，次の漸化式で2つの数列{an}，{bn}を定める．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=2an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b2=1,b3=1,b_{n+3}=3bn(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771を用いよ．
(1){an}と{bn}の最初の6項をそれぞれ求めよ．
(2)a_{n+6}=8anとなることを示せ．
(3)mを0以上の整数とするとき，a_{6m+1}とb_{6m+1}を・・・ 国立 岩手大学 2014年 第6問次の問いに答えよ．
(1)xy+y2+xz+yzを因数分解せよ．
(2)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
ab+b2+ac+bc
を4で割った余りが3であることを示せ．
(3)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
a2b+a2c+ab2+b2c+bc2+ac2+2abc
は6の倍数であることを示せ．
