「余り」について

　国立 防衛医科大学校 2012年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)以下の条件(ア)，(イ)を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)]13で割ると余りが2となる．
\mon[(イ)]11で割ると商が奇数，余りが3となる．
(2)正六角形ABCDEFの辺CDの中点をM，CEとAMの交点をNとする．このとき，△NEAの面積は△NCMの面積の何倍となるか．
(3)極限値\lim_{n→\・・・

　国立 千葉大学 2012年 第10問

さいころをn回(n≧2)投げ，k回目\;(1≦k≦n)に出る目をXkとする．
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ．
(2)積X1X2・・・Xnが偶数である確率を求めよ．
(3)積X1X2・・・Xnが4の倍数である確率を求めよ．
(4)積X1X2・・・Xnを3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2012年 第3問

a,bは定数でa≠0とする．自然数nに対して，整式(ax+b)nをx2+1で割った余りをanx+bnと表し，
In=∫01\frac{(ax+b)n}{x2+1}dx
とおく．
(1)行列Aは，すべてのnに対して，
\biggl(\begin{array}{c}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array}\biggr)
を満たす．行列Aを求めよ．
(2)(1)で求めた行列Aに対し，
A2+pA+qE=O
となる定数p,qをa,bを用いて表せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 大阪教育大学 2012年 第2問

mを9以下の自然数とする．箱の中にm枚のカードが入っており，それぞれのカードに1,2,・・・,mの数字がひとつずつ書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを1枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を2回繰り返す．1回目に引いたカードに書かれた数字をa，2回目に引いたカードに書かれた数字をbとし，また，aを十の位，bを一の位とする，2桁の数をnとする．次の問に答えよ．
(1)a+bが3で割り切れる確率とnが3で・・・

　国立 福井大学 2012年 第2問

数列{an}は正の整数からなる数列で，a1=1,a3=5,a5=41である．また，ある定数s,tについて
a_{n+1}=san+t(n=1,2,3,・・・)
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)s,tの値を求めよ．
(2)一般項anを求めよ．さらにa_{3n-2}はanで割り切れることを示せ．
(3)a_{n+1}をanで割った余りをbnとする．2以上の正の整数mに対して，次の和を求めよ．
Σ_{k=2}m\frac{ak+bk}{bkb_{k+1}}

　国立 愛媛大学 2012年 第4問

実数aはa＞eを満たすとし，曲線y=logx上の点A(a,loga)における接線をℓとする．
(1)ℓとy軸との交点をBとし，ℓとx軸との交点をCとする．BとCの座標を求めよ．
(2)ℓとx軸，y軸で囲まれた部分の面積をS1(a)とし，曲線y=logxとx軸および直線x=aで囲まれた部分の面積をS2(a)とする．S1(a)とS2(a)を求めよ．
(3)T(a)=S2(a)-S1(a)とおく．e2≦a≦e3におけるT(a)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 山梨大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)多項式f(x)をx-1で割ると3余り，x-2で割ると2余るとき，f(x)を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ．
(2)不等式0＜log(x2-4x+3)-log(x2-6x+8)＜log2を満たすxの範囲を求めよ．
(3)f(x)が等式f(x)=x2+∫0xf´(t)e^{t-x}dtを満たしているとき，f(x)を求めよ．

　私立 法政大学 2012年 第3問

さいころを3回投げるとき，1回目，2回目，3回目に出る目をそれぞれk1,k2,k3とおき，さらにk1,k1+k2,k1+k2+k3を4で割った余りをそれぞれn1,n2,n3とおく．次の場合の確率を求めよ．
(1)n1が1
(2)n2が1
(3)n1,n2,n3がすべて等しい
(4)n1,n2,n3が互いに異なる

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)5個の数字0,1,2,3,4を重複なく使ってできる5桁の整数を小さい方から順に並べたとき，70番目の数を100で割った余りは[ア]である．
(2)16^{log23}=[イ]である．
(3)mn=1024を満たす自然数の組(m,n)は[ウ]通りある．その中で最小のmは[エ]，最小のnは[オ]である．
(4)xの式(1+x+ax2)6を展開したときのx4の係数は，a=[カ]のときに最小値[キ]をとる．

　私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第4問

さいころを投げ，出た目の数を2乗して，3で割ったときの余りをXとする．このとき，X=1となる確率を求めよ．