「係数」について

　国立 熊本大学 2015年 第4問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第1問

f(x)はxの3次多項式とし，x3の係数は1，定数項は0とする．2つの異なる実数α,βに対してf´(α)=f´(β)=0が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)f(α),f(β)をα,βを用いて表せ．
(2)不等式α＜β＜3αが成り立つとき，3次方程式f(x)=-1の実数解の個数を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aを定数とし，0＜a＜1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n

　国立 福岡教育大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1){(x-3y+2z)}7の展開式におけるx4y2zの項の係数を求めよ．
(2)aは正の定数で，a≠1とする．不等式
loga(a-x-y)＞logax+logay
が表す領域を図示せよ．
(3)nは3以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
2n＞1/2n2+n

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　国立 名古屋大学 2015年 第3問

次の問に答えよ．
(1)(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}})2を計算し，2重根号を用いない形で表せ．
(2)α=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}とするとき，整数係数の4次多項式f(x)でf(α)=0となるもののうち，x4の係数が1であるものを求めよ．
(3)8つの実数
±\sqrt{13}±\sqrt{9+2\sqrt{17}}±\sqrt{9-2\sqrt{17}}
（ただし，複号±はすべての可能性にわたる）の中で，(2)で求めたf(x)に対して方程式f(x)・・・

　国立 名古屋大学 2015年 第2問

次の問に答えよ．
(1)α=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}とするとき，整数係数の4次多項式f(x)でf(α)=0となるもののうち，x4の係数が1であるものを求めよ．
(2)8つの実数
±\sqrt{13}±\sqrt{9+2\sqrt{17}}±\sqrt{9-2\sqrt{17}}
（ただし，複号±はすべての可能性にわたる）の中で，(1)で求めたf(x)に対して方程式f(x)=0の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)(2)で求めたf(x)=0の解の大小関係を調べ，そ・・・

　国立 信州大学 2015年 第4問

nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．

　国立 信州大学 2015年 第3問

nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．