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(√7x2+1/49)^{50}の展開式について，次の問いに答えよ．
(1)x^{96}の係数をa×7bの形に表せ．ただし，a,bは自然数とし，aは7の倍数でないとする．
(2)係数が自然数になる項の個数を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)aを実数とする．実数xに対して，[x]はx以下の最大の整数を表す．方程式
[1/2x]=x-a
が0≦x＜4の範囲に異なる2つの実数解をもつようなaの範囲は[ア]≦a＜[イ]である．
(2)\frac{1}{4-\sqrt{11}}を小数で表すとき，小数第1位の数字は[ウ]である．
(3){(x2+√2y)}6の展開式におけるx8y2の係数は[エ]である．
(4)kを実数とする．2つの2次方程式
x2-(k-1)x+k+2=0,・・・
国立 東北大学 2013年 第1問kを実数とする．3次式f(x)=x3-kx2-1に対し，方程式f(x)=0の3つの解をα,β,γとする．g(x)はx3の係数が1である3次式で，方程式g(x)=0の3つの解がαβ,βγ,γαであるものとする．
(1)g(x)をkを用いて表せ．
(2)2つの方程式f(x)=0とg(x)=0が共通の解をもつようなkの値を求めよ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・ 国立 名古屋大学 2013年 第3問k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・
国立 新潟大学 2013年 第4問1次関数f(x)=px+qに対して，xの係数pと定数項qを成分にもつベクトル(p,q)をベクトルfとする．つまり，ベクトルf=(p,q)とする．次の問いに答えよ．
(1)定積分
∫_{-√3}^{√3}(kx+l)(mx+n)dx
を求めよ．ただし，k,l,m,nは定数である．
(2)2つの1次関数g(x)とh(x)に対して，等式
\frac{1}{2√3}∫_{-√3}^{√3}g(x)h(x)dx=ベクトルg・ベクトルh
が成り立つことを示せ．ただし，ベクトルg・ベクトルhはベクトル\vec・・・
国立 千葉大学 2013年 第6問整数p,q(p≧q≧0)に対して2項係数を\comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}と定める．なお0!=1とする．
(1)n,kが0以上の整数のとき，
\comb{n+k+1}{k+1}×(\frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}})
を計算し，nによらない値になることを示せ．
(2)mが3以上の整数のとき，和\frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+・・・+\frac{1}{\comb{m}{3}}を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)式(a+b)6を展開したときのa3b3の項の係数を求めよ．
(2)6個の引き出しがあり，そのすべてに書類aと書類bが1部ずつ入っている．書類aを4部と書類bを2部取り出したい．
(i)1個の引き出しから，書類aまたは書類bのどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii)1個の引き出しから，書類aと書類bの両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき・・・
国立 徳島大学 2013年 第1問P(x)はx3の係数が1の3次式である．P(x)をx-1で割ったときの余りが-3である．また，P(x)をx-2で割ると割り切れ，その商をQ(x)とする．Q(x)をx+3で割ると余りが7である．
(1)Q(x)をx-1で割ったときの余りを求めよ．
(2)Q(x)を求めよ．
(3)P(x)を(x-1)(x+3)で割ったときの商と余りを求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第2問P(x)はx3の係数が1の3次式である．P(x)をx-1で割ったときの余りが-3である．また，P(x)をx-2で割ると割り切れ，その商をQ(x)とする．Q(x)をx+3で割ると余りが7である．
(1)Q(x)をx-1で割ったときの余りを求めよ．
(2)Q(x)を求めよ．
(3)P(x)を(x-1)(x+3)で割ったときの商と余りを求めよ．
