「係数」について

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

3次の整式P(x)は，次の条件(i),(ii),(iii)を満たしている．
(i)P(x)のx3の係数は1である．
(ii)P(x)は(x-1)2で割り切れる．
(iii)P(x)をx+1で割った余りと，x2-x-2で割った余りは等しい．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)P(x)を求めよ．
(2){P(x)}2を(x+1)2で割った余りを求めよ．

　私立 昭和大学 2013年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)2(3x3-2x-2)5の展開式におけるx6の項の係数を求めよ．
(2)a+b+c=9を満たす正の整数a,b,cの組(a,b,c)は何通りあるか．
(3)3個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)1から500までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
(i)6と8の両方で割り切れる数，(ii)6でも8でも割り切れない数

　私立 日本女子大学 2013年 第4問

式(2x+3y+xy)8の展開式における，項x7y5，x6y6のそれぞれの係数を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\frac{1}{√7+√5},y=\frac{1}{√7-√5}のとき，
x+y=\sqrt{[ア]},xy=\frac{[イ]}{[ウ]},x2+y2=[エ]
である．
(2)連立不等式{\begin{array}{l}
2x+3≦4x-7\
|x-6|＜3
\end{array}.の解は[オ]≦x＜[カ]である．
(3)関数y=-2x2+6x-1(0≦x≦4)はx=\frac{[キ]}{[ク]}で最大値\frac{[ケ]}・・・

　私立 北里大学 2013年 第1問

次の[]にあてはまる答を記せ．ただし，(5)において，必要ならばlog_{10}2=0.3010を用いてよい．
(1)OA:OB=1:3である三角形OABにおいて，辺ABの中点をM，線分OMを1:2に内分する点をNとし，∠AOBの大きさをθとする．
(i)ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，ベクトルaとベクトルbを用いてベクトルNAを表すと，ベクトルNA=[]ベクトルa-[]\vectit{・・・

　私立 大同大学 2013年 第7問

次の問いに答えよ．
(1)(x+√2)8を展開したとき，x6の係数を求めよ．
(2)(x+√2)^{10}を展開したとき，x6の係数を求めよ．
(3)(x2+2√2x+3)5を展開したとき，x6の係数を求めよ．

　公立 岡山県立大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)Σ_{k=1}^{2013}\frac{1}{Σ_{j=1}kj}を求めよ．
(2)実数a,bを係数とする2次方程式x2+ax+b=0が異なる2つの虚数解をもつ．1つの虚数解をαとすると，他の解は2α-4+3iと表すことができる．このとき，a,bの値を求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(3)座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=cos2t,y=sint
で表されるとき，点Pの速さは
v=\sqrt{(dx/dt)2+・・・

　公立 島根県立大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)曲線y=2x3-ax2+3bx上の点(-1,4)における接線が，直線2013x-671y+2013=0と平行になるとき，aとbの値を求めよ．
(2)SUCCESSの7文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともにCとなる確率を分数で答えよ．
(3)(5x-y-2z)(25x2+5xy+y2-2yz+4z2+10zx)の展開式において，xyzの係数を求めよ．
(4)円x2+2x+y2-3=0上を動く点Pと，2点A(3,1)，B(1,-4)を3つの頂点とする三角形ABPの重心\ten{G・・・

　国立 京都大学 2012年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)\sqrt[3]{2}が無理数であることを証明せよ．
(2)P(x)は有理数を係数とするxの多項式で，P(\sqrt[3]{2})=0を満たしているとする．このときP(x)はx3-2で割り切れることを証明せよ．

　国立 名古屋大学 2012年 第4問

m,pを3以上の奇数とし，mはpで割り切れないとする．
(1)(x-1)^{101}の展開式におけるx2の項の係数を求めよ．
(2)(p-1)m+1はpで割り切れることを示せ．
(3)(p-1)m+1はp2で割り切れないことを示せ．
(4)rを正の整数とし，s=3^{r-1}mとする．2s+1は3rで割り切れることを示せ．