「係数」について

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

次の問に答えよ．
(1)a,bは整数で，2次方程式
x2+ax+b=0\dotnum{A}
が異なる2つの実数解α,βをもつとする．このとき，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
まず，b=0のときは，x2+ax=0であるから\maru{A}は整数解0,-aをもつ．以下ではb≠0とする．\\
解と係数の関係より，α+β=-a,αβ=bであり，これらは整数である．有理数と無理数・・・

　私立 金沢工業大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=√3+√2のとき，x+1/x=[ア]\sqrt{[イ]}，x3+\frac{1}{x3}=[ウエ]\sqrt{[オ]}である．
(2)(2a+1)(2a-1)(a2-a+4)の展開式におけるa2の項の係数は[カキ]である．
(3)整式A=x2-2xy+3y2，B=2x2+3y2，C=x2-2xyについて
2(A-B)-{C-(3A-B)}=[クケ]x2-[コ]xy+[サ]y2
である．
(4)方程式x2+3kx+k2+5k=0が重解をもつような定数kの値は[シ]，\ka・・・

　私立 東北学院大学 2011年 第4問

3次関数f(x)はx3の係数が1で，2次方程式f´(x)=0がx=2を重解にもち，f(0)=0を満たしているとする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)方程式f(x)=kxが異なる3つの実数解をもつように，定数kの値の範囲を定めよ．
(3)方程式f(x)=3x+mが異なる3つの実数解をもつように，定数mの値の範囲を定めよ．

　私立 南山大学 2011年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)放物線y=x2+2xをx軸方向にp，y軸方向に1/2p2だけ平行移動して得られる放物線Cの方程式を求めるとy=[ア]である．Cと直線y=xが異なる2つの点で交わるようなpの値の範囲を求めると[イ]である．
(2)3次の整式F(x)を考える．F(x)のx3の項の係数は1であり，xF(x)をx2-3x+2で割った余りは2xである．このとき，F(2)の値はF(2)=[ウ]であり，さらに，F(-1)=2であるとき，F(-2)の値はF(-2)=\kakko{・・・

　私立 龍谷大学 2011年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)(a2+b+2)8を展開したときのa6b2の係数を求めなさい．
(2)等式\lim_{x→1}\frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1}=bを満たす実数a,bを求めなさい．
(3)定積分∫1e\frac{(logx)2}{x}dxを求めなさい．

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．
(1)(x+1)5のx3の係数は[ア]である．
(2)中心をOとする円の円周上に異なる2点A，Bがあり，AB=3とするとき，ベクトルABとベクトルAOの内積は，[イ]である．
(3)y=x2+px+q(pq≠0)のグラフが点(1,1)を通り，x軸に接するとき，p=[ウ]，q=[エ]である．
(4)120人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が83人，バスを利用する学生が48人，電車もバスも・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)α={(\frac{413}{8})^{1/2}+6}^{1/3}-{(\frac{413}{8})^{1/2}-6}^{1/3}は整数を係数とする3次方程式
2x3+[ア]x2+[イ]x+[ウ]=0
の解である．
(2)f(x)=x3-4xとする．曲線y=f(x)上に2点P(t-1,f(t-1))，Q(t+1,f(t+1))をとる．線分PQが曲線y=f(x)とP，Q以外の点で交わるためのtの条件は
\frac{\・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄アに①～④のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数x,yに対して，x2+y2≦1は「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1」であるための何条件かを，①「必要条件」，②「十分条件」，③「必要十分条件」，④「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，[ア]となる．
(2)3x2-xy-2y2-x+6y+kが，x,yの整数係数の1次式の積に因数分解されるとき，k=[イ]である．・・・

　私立 上智大学 2011年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．
自然数n=1,2,3,・・・に対して，nが[√n]の整数倍で表せるとき，そのようなnを小さいものから順に並べて
n1,n2,n3,・・・
とする．
(1)n5=[マ]である．
(2)自然数pに対して，[√n]=pをみたす自然数nの集合をMpとする．Mpの要素でpの整数倍であるものは全部で[ミ]個ある．
(3)自然数mに対して，
Sm=Σ_{i=1}mni
とおく．k≧1のとき，S_{3k-2}・・・