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次の問いに答えよ.
(1)nを自然数とするとき,4^{2n-1}+3^{n+1}は13の倍数であることを示せ.
(2)\frac{1}{5-\sqrt{19}}の整数部分をα,小数部分をβとするときα,βを求めよ.またα2-18β2を求めよ.
国立 東京工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ.
(1)辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD,辺OCの中点をEとする.2つのベクトルベクトルDEとベクトルACとの内積を求めよ.
(2)1から6までの目がそれぞれ1/6の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき,目の積が10の倍数になる確率を求めよ.
国立 千葉大学 2012年 第10問さいころをn回(n≧2)投げ,k回目\;(1≦k≦n)に出る目をXkとする.
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ.
(2)積X1X2・・・Xnが偶数である確率を求めよ.
(3)積X1X2・・・Xnが4の倍数である確率を求めよ.
(4)積X1X2・・・Xnを3で割ったときの余りが1である確率を求めよ.
国立 富山大学 2012年 第3問箱の中に,数字の1が書かれたカードと数字の2が書かれたカードが,それぞれ1枚ずつ入っている.この箱の中から1枚のカードを取り出し,数字を記録して箱に戻す.これをn回繰り返したとき,記録された数字の和が3の倍数である確率をPnとする.
(1)P1,P2を求めよ.
(2)P_{n+1}をPnを用いて表せ.
(3)Pnをnを用いて表せ.
国立 富山大学 2012年 第2問nが奇数のとき,
S=n+(n+1)2+(n+2)3
は16の倍数であることを示せ.
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ.
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち,2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ.
(2)x2-9x+14>0を満たさない整数xで,3の倍数でないものをすべて求めよ.
(3)三角形ABCにおいて,辺ABの中点をD,辺ACの中点をEとする.BE=CDならばAB=ACであることを示せ.
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ.
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち,2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ.
(2)x2-9x+14>0を満たさない整数xで,3の倍数でないものをすべて求めよ.
(3)三角形ABCにおいて,辺ABの中点をD,辺ACの中点をEとする.BE=CDならばAB=ACであることを示せ.
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ.
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち,2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ.
(2)x2-9x+14>0を満たさない整数xで,3の倍数でないものをすべて求めよ.
(3)三角形ABCにおいて,辺ABの中点をD,辺ACの中点をEとする.BE=CDならばAB=ACであることを示せ.
国立 香川大学 2012年 第4問nを2以上の整数とする.集合Xn={1,2,・・・,n}を2つの空集合ではない部分集合An,Bnに分ける.すなわち,An∪Bn=Xn,An∩Bn=\phi,An≠\phi,Bn≠\phiである.Anに属する自然数の和をan,Bnに属する自然数の和をbnとおく.例えば,n=5のとき,X5をA5={1,2,5},B5={3,4}と分ければ,a5=8,b5=7となる.このとき,次の問に答えよ.
(1)nが4の倍数のとき,an=bnとなるようにXnを分けられることを示せ.
(2)n+1が4の・・・
国立 京都工芸繊維大学 2012年 第4問pを自然数とし,rを1より大きい実数とする.数列an(n=1,2,3,・・・)は次の条件(i),(ii),(iii)をすべて満たしている.
(i)an=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}(n=1,2,3,・・・)
(ii)a2=p
(iii)a3≦13
このとき,次の問いに答えよ.
(1)すべての自然数nについて,a_{n+2}=pa_{n+1}-anが成り立つことを証明せよ.
(2)pおよびrの値を求めよ.
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