「倍数」について

　私立 北海道科学大学 2012年 第2問

U={n\;|\;n　は　1　から　100　までの自然数　}を全体集合として，その部分集合を
A={n\;|\;n　は　2　の倍数　}
B={n\;|\;n　は　3　の倍数　}
とする．このときA∪Bに属する要素の個数は[1]であり，\overline{A}∩\overline{B}に属する要素の個数は[2]である．

　私立 北海道科学大学 2012年 第10問

大小2つのサイコロを投げるとき，目の和が3の倍数である確率は[1]である．また，目の積が偶数である確率は[2]である．

　公立 首都大学東京 2012年 第1問

1個のさいころを5回振る試行を行うとき，以下の問いに答えなさい．
(1)3の倍数の目がそれ以外の目より1回だけ多く出る確率を求めなさい．
(2)3の倍数の目がそれ以外の目より2回以上多く出る確率を求めなさい．
(3)3の倍数の目が出る回数をxとし，それ以外の目が出る回数をyとする．x2+y2が最小値をとる確率を求めなさい．

　公立 高知工科大学 2012年 第2問

xの2次方程式x2-2x-1=0の解をα,β(α＜β)とし，正の整数nに対して
xn=\frac{βn-αn}{2√2}
とおく．次の各問に答えよ．
(1)x1,x2を求めよ．
(2)x_{n+2}=2x_{n+1}+xnが成り立つことを証明せよ．
(3)x_{3n}は5の倍数であることを証明せよ．

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第5問

x+y+z=n（nは正の整数）をみたす正の整数の組(x,y,z)について，次の問いに答えよ．
(1)n=19のとき，(x,y,z)の組は何通りあるか．そのうち，x,y,zのいずれか2つが等しい組，x≦y≦zをみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)nが6の倍数であるとき，x≦y≦zをみたす(x,y,z)の組は何通りあるか．

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問

整数mが与えられたとき，xに関する整数係数の2つの整式f(x)，g(x)が関係式
f(x)\equivg(x)±odm
を満たすとは，等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである．
(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする．もし，ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm，かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば，関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm，かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ．
(2)正整・・・

　公立 福島県立医科大学 2012年 第3問

nは自然数とする．3次方程式x3-3x2-27x-27=0の3つの解a,b,cについて，pn=an+bn+cnとおく．以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cは3つの異なる実数であることを示せ．
(2)p1,p2,p3の値を求めよ．
(3)p_{n+3}をpn，p_{n+1}およびp_{n+2}を用いて表せ．
(4)pnは3nの倍数であることを示せ．

　国立 岡山大学 2011年 第2問

nを3以上の整数とする．3n枚のカードに1から3nまでの数字が1つずつ書かれている．この中から3枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．
(1)3枚のカードの数字がすべて3の倍数である確率を求めよ．
(2)3枚のカードの数字の和が3の倍数である確率を求めよ．
(3)3枚のカードの数字の積が3の倍数である確率と3枚のカードの数字の和が3の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

　国立 岩手大学 2011年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに関する次の命題を証明せよ．
(i)nを3で割った余りが1ならば，n2を3で割った余りは1である．
(ii)nが3の倍数であることは，n2が3の倍数であるための必要十分条件である．
(2)100から999までの3桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(i)3種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[(ii))]0が現れないものは何個あるか．
\mon[(iii)・・・

　国立 広島大学 2011年 第5問

さいころをn回投げる．k回目(k=1,2,・・・,n)に投げた結果，
1または2の目が出たときXk=2，
3または4の目が出たときXk=3，
5または6の目が出たときXk=5
とする．これらの積をY=X1X2・・・Xnとおく．次の問いに答えよ．
(1)n=5のとき，Yが偶数になる確率p1を求めよ．
(2)n=5のとき，Yが100の倍数になる確率p2を求めよ．
(3)n=2のとき，Yの期待値Eを求めよ．