「倍数」について

　国立 島根大学 2011年 第3問

U={k\;|\;k　は自然数，　1≦k≦25}を全体集合とし，Uの部分集合A,Bを次のように定める．
A={k\;|\;k\inU　かつ　k　は3の倍数　},B={k\;|\;k\inU　かつ　k　は4の倍数　}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合A∩B,A∪Bを，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)mとnを自然数とし，2次方程式
(*)x2-mx+n=0
が整数解をもつとする．このとき，nが素数ならば，2次方程式(*)は1を解としてもつこ・・・

　国立 徳島大学 2011年 第2問

数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

　国立 徳島大学 2011年 第1問

数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

　国立 熊本大学 2011年 第1問

x,yを整数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)x5-xは30の倍数であることを示せ．
(2)x5y-xy5は30の倍数であることを示せ．

　国立 佐賀大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)中心が点(1,2)，半径が3の円がある．点Pがこの円上を動くとき，点A(-3,6)と点Pを結ぶ線分APを2:1に内分する点Qの軌跡を求めよ．
(2)5個の数字1，2，3，4，5から異なる3個を取って3桁の自然数を作る．3の倍数にも5の倍数にもならないものはいくつあるか．

　国立 山形大学 2011年 第4問

次の問に答えよ．
(1)自然数p,qを自然数mで割ったときの余りをそれぞれr,sとする．このとき，pq-rsはmの倍数であることを示せ．
(2)nが自然数のとき，3nを4で割ったときの余りを求めよ．
(3)nを自然数とし，rを実数とするとき，二項展開を利用して
Σ_{k=1}n{}_{2n}　C　_{2k-1}・r^{2k-1}
を求めよ．
(4)サイコロを2n回振り，出た目をすべて掛け合わせた数をXnとする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も1/6・・・

　国立 山口大学 2011年 第3問

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数をMとし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数をNとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)M+Nが3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)|M-N|＜200を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．

　国立 浜松医科大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)3つの数2^{10}-1,3^{10}-1,4^{10}-1の積をy=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)として，全体集合Uと部分集合A,Bを次のように定める．
\begin{array}{l}
U={x\;|\;x　は　y　の正の約数　}\
A={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　44　の倍数　}\
B={x\;|\;x\inU　かつ　x　は　45　の倍数　}
\end{array}
このとき，部分集合A∩\overline{B}に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列an=4n-1(・・・

　私立 明治大学 2011年 第1問

以下の[ア]から[ツ]にあてはまる数字または式を記入せよ．
(1)数列
\frac{1}{1+2},\frac{1}{1+2+3},\frac{1}{1+2+3+4},・・・
の第n項をanで表すと
a_{40}=\frac{1}{[ア][イ][ウ]}
であり，
Σ_{n=40}^{80}an=\frac{[エ]}{[オ][カ]}
である．
(2)OA=2，OB=1である三角形OABにおいて，∠AOBの2等分線と辺ABの交点をCとする．また線分ABを5:2に外分する点をD，・・・

　私立 金沢工業大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=√3+√2のとき，x+1/x=[ア]\sqrt{[イ]}，x3+\frac{1}{x3}=[ウエ]\sqrt{[オ]}である．
(2)(2a+1)(2a-1)(a2-a+4)の展開式におけるa2の項の係数は[カキ]である．
(3)整式A=x2-2xy+3y2，B=2x2+3y2，C=x2-2xyについて
2(A-B)-{C-(3A-B)}=[クケ]x2-[コ]xy+[サ]y2
である．
(4)方程式x2+3kx+k2+5k=0が重解をもつような定数kの値は[シ]，\ka・・・