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U={k\;|\;k は自然数, 1≦k≦25}を全体集合とし,Uの部分集合A,Bを次のように定める.
A={k\;|\;k\inU かつ k は3の倍数 },B={k\;|\;k\inU かつ k は4の倍数 }
このとき,次の問いに答えよ.
(1)2つの集合A∩B,A∪Bを,要素を書き並べる方法で表せ.
(2)mとnを自然数とし,2次方程式
(*)x2-mx+n=0
が整数解をもつとする.このとき,nが素数ならば,2次方程式(*)は1を解としてもつこ・・・
国立 徳島大学 2011年 第2問数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ.ただし,同じ数字を重複して使ってよいものとする.
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数
国立 徳島大学 2011年 第1問数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ.ただし,同じ数字を重複して使ってよいものとする.
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数
国立 熊本大学 2011年 第1問x,yを整数とするとき,以下の問いに答えよ.
(1)x5-xは30の倍数であることを示せ.
(2)x5y-xy5は30の倍数であることを示せ.
国立 佐賀大学 2011年 第1問次の問いに答えよ.
(1)中心が点(1,2),半径が3の円がある.点Pがこの円上を動くとき,点A(-3,6)と点Pを結ぶ線分APを2:1に内分する点Qの軌跡を求めよ.
(2)5個の数字1,2,3,4,5から異なる3個を取って3桁の自然数を作る.3の倍数にも5の倍数にもならないものはいくつあるか.
国立 山形大学 2011年 第4問次の問に答えよ.
(1)自然数p,qを自然数mで割ったときの余りをそれぞれr,sとする.このとき,pq-rsはmの倍数であることを示せ.
(2)nが自然数のとき,3nを4で割ったときの余りを求めよ.
(3)nを自然数とし,rを実数とするとき,二項展開を利用して
Σ_{k=1}n{}_{2n} C _{2k-1}・r^{2k-1}
を求めよ.
(4)サイコロを2n回振り,出た目をすべて掛け合わせた数をXnとする.使用するサイコロの目は1,2,3,4,5,6であり,どの目の出る確率も1/6・・・
国立 山口大学 2011年 第3問1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある.6枚のカードの中から3枚を取り出し,左から一列に並べる.並べたカードの数字を左から順に百の位,十の位,一の位とする3桁の整数をMとし,また右から順に百の位,十の位,一の位とする3桁の整数をNとする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)M+Nが3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい.
(2)|M-N|<200を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい.
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ.
(1)3つの数2^{10}-1,3^{10}-1,4^{10}-1の積をy=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)として,全体集合Uと部分集合A,Bを次のように定める.
\begin{array}{l}
U={x\;|\;x は y の正の約数 }\
A={x\;|\;x\inU かつ x は 44 の倍数 }\
B={x\;|\;x\inU かつ x は 45 の倍数 }
\end{array}
このとき,部分集合A∩\overline{B}に属する要素は,全部で何個あるか.
以下,数列an=4n-1(・・・
私立 明治大学 2011年 第1問以下の[ア]から[ツ]にあてはまる数字または式を記入せよ.
(1)数列
\frac{1}{1+2},\frac{1}{1+2+3},\frac{1}{1+2+3+4},・・・
の第n項をanで表すと
a_{40}=\frac{1}{[ア][イ][ウ]}
であり,
Σ_{n=40}^{80}an=\frac{[エ]}{[オ][カ]}
である.
(2)OA=2,OB=1である三角形OABにおいて,∠AOBの2等分線と辺ABの交点をCとする.また線分ABを5:2に外分する点をD,・・・
私立 金沢工業大学 2011年 第1問次の問いに答えよ.
(1)x=√3+√2のとき,x+1/x=[ア]\sqrt{[イ]},x3+\frac{1}{x3}=[ウエ]\sqrt{[オ]}である.
(2)(2a+1)(2a-1)(a2-a+4)の展開式におけるa2の項の係数は[カキ]である.
(3)整式A=x2-2xy+3y2,B=2x2+3y2,C=x2-2xyについて
2(A-B)-{C-(3A-B)}=[クケ]x2-[コ]xy+[サ]y2
である.
(4)方程式x2+3kx+k2+5k=0が重解をもつような定数kの値は[シ],\ka・・・