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2つの数列{an},{bn}が次の漸化式で与えられているとする.
{
\begin{array}{l}
a1=4,b1=3\\
a_{n+1}=4an-3bn(n=1,2,3,・・・)\\
b_{n+1}=3an+4bn(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1)a2,a3,a4,b2,b3,b4を求めなさい.
(2)a_{n+4}-an(n=1,2,3,・・・),b_{n+4}-bn(n=1,2,3,・・・)はともに5の倍数であることを証明しなさい.
(3)an(n=1,2,3,・・・・
公立 会津大学 2011年 第6問nを自然数とし,
Sn=12+22+32+・・・+n2
とするとき,以下の問いに答えよ.
(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ.
Sn=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
(2)(1)の結果を利用して,S_{3n}+nが3の倍数であることを証明せよ.
公立 九州歯科大学 2011年 第1問次の問いに答えよ.
(1)|ベクトルa|=2|ベクトルb|=4をみたす2つのベクトルベクトルaとベクトルbに対してベクトルc=ベクトルa+ベクトルbとベクトルd=4ベクトルa-3ベクトルbが直交するとき,|ベクトルa-ベクトルb|の値を求めよ.
(2)定積分I=∫_{-1}2|x3-3x2+2x|dxの値を求めよ.
(3)10個の数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中から異なる数字を選んで4けたの数を作るとき,この4けたの数が25の倍数となるのは何通りあるか.
国立 一橋大学 2010年 第1問実数p,q,rに対して,3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと定める.実数a,c,および0でない実数bに対して,a+biとcはいずれも方程式f(x)=0の解であるとする.ただし,iは虚数単位を表す.
(1)y=f(x)のグラフにおいて,点(a,f(a))における接線の傾きをs(a)とし,点(c,f(c))における接線の傾きをs(c)とする.a≠cのとき,s(a)とs(c)の大小を比較せよ.
(2)さらに,a,cは整数であり,bは0でない整数であるとする.次を証明せよ.
(3)p,q,r・・・
国立 一橋大学 2010年 第4問0以上の整数a1,a2があたえられたとき,数列{an}を
a_{n+2}=a_{n+1}+6an
により定める.
(1)a1=1,a2=2のとき,a_{2010}を10で割った余りを求めよ.
(2)a2=3a1のとき,a_{n+4}-anは10の倍数であることを示せ.
国立 弘前大学 2010年 第1問すべての正の整数nに対して,3^{3n-2}+5^{3n-1}が7の倍数であることを証明せよ.
国立 神戸大学 2010年 第2問pを3以上の素数,a,bを自然数とする.以下の問に答えよ.ただし,自然数m,nに対し,mnがpの倍数ならば,mまたはnはpの倍数であることを用いてよい.
(1)a+bとabがともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.
(2)a+bとa2+b2がともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.
(3)a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき,aとbはともにpの倍数であることを示せ.
国立 神戸大学 2010年 第3問a,bを自然数とする.以下の問に答えよ.
(1)abが3の倍数であるとき,aまたはbは3の倍数であることを示せ.
(2)a+bとabがともに3の倍数であるとき,aとbはともに3の倍数であることを示せ.
(3)a+bとa2+b2がともに3の倍数であるとき,aとbはともに3の倍数であることを示せ.
国立 東京工業大学 2010年 第3問1からnまでの数字がもれなく一つずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く.このとき,引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率をp(n)とする.
(1)p(8)を求めよ.
(2)正の整数kに対し,p(3k+2)をkで表せ.
国立 福井大学 2010年 第3問kを正の整数とし,a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える.以下の問いに答えよ.
(1)すべてのnに対して,a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ.
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ.