「倍数」について

　公立 首都大学東京 2011年 第2問

2つの数列{an},{bn}が次の漸化式で与えられているとする．
{
\begin{array}{l}
a1=4,b1=3\\
a_{n+1}=4an-3bn(n=1,2,3,・・・)\\
b_{n+1}=3an+4bn(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)a2,a3,a4,b2,b3,b4を求めなさい．
(2)a_{n+4}-an(n=1,2,3,・・・),b_{n+4}-bn(n=1,2,3,・・・)はともに5の倍数であることを証明しなさい．
(3)an(n=1,2,3,・・・・

　公立 会津大学 2011年 第6問

nを自然数とし，
Sn=12+22+32+・・・+n2
とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
Sn=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
(2)(1)の結果を利用して，S_{3n}+nが3の倍数であることを証明せよ．

　公立 九州歯科大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=2|ベクトルb|=4をみたす2つのベクトルベクトルaとベクトルbに対してベクトルc=ベクトルa+ベクトルbとベクトルd=4ベクトルa-3ベクトルbが直交するとき，|ベクトルa-ベクトルb|の値を求めよ．
(2)定積分I=∫_{-1}2|x3-3x2+2x|dxの値を求めよ．
(3)10個の数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中から異なる数字を選んで4けたの数を作るとき，この4けたの数が25の倍数となるのは何通りあるか．

　国立 一橋大学 2010年 第1問

実数p,q,rに対して，3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと定める．実数a,c,および0でない実数bに対して，a+biとcはいずれも方程式f(x)=0の解であるとする．ただし，iは虚数単位を表す．
(1)y=f(x)のグラフにおいて，点(a,f(a))における接線の傾きをs(a)とし，点(c,f(c))における接線の傾きをs(c)とする．a≠cのとき，s(a)とs(c)の大小を比較せよ．
(2)さらに，a,cは整数であり，bは0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)p,q,r・・・

　国立 一橋大学 2010年 第4問

0以上の整数a1,a2があたえられたとき，数列{an}を
a_{n+2}=a_{n+1}+6an
により定める．
(1)a1=1,a2=2のとき，a_{2010}を10で割った余りを求めよ．
(2)a2=3a1のとき，a_{n+4}-anは10の倍数であることを示せ．

　国立 弘前大学 2010年 第1問

すべての正の整数nに対して，3^{3n-2}+5^{3n-1}が7の倍数であることを証明せよ．

　国立 神戸大学 2010年 第2問

pを3以上の素数，a,bを自然数とする．以下の問に答えよ．ただし，自然数m,nに対し，mnがpの倍数ならば，mまたはnはpの倍数であることを用いてよい．
(1)a+bとabがともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．
(2)a+bとa2+b2がともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．
(3)a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．

　国立 神戸大学 2010年 第3問

a,bを自然数とする．以下の問に答えよ．
(1)abが3の倍数であるとき，aまたはbは3の倍数であることを示せ．
(2)a+bとabがともに3の倍数であるとき，aとbはともに3の倍数であることを示せ．
(3)a+bとa2+b2がともに3の倍数であるとき，aとbはともに3の倍数であることを示せ．

　国立 東京工業大学 2010年 第3問

1からnまでの数字がもれなく一つずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率をp(n)とする．
(1)p(8)を求めよ．
(2)正の整数kに対し，p(3k+2)をkで表せ．

　国立 福井大学 2010年 第3問

kを正の整数とし，a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える．以下の問いに答えよ．
(1)すべてのnに対して，a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ．
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ．