「倍数」について

　国立 茨城大学 2010年 第4問

自然数m,nに対して，m=qn+r,0≦r＜nとなる整数qとrをそれぞれmをnで割ったときの商と余りという．ここではmをnで割ったときの余りrをm@nで表すことにする．a,b,cを自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)12@3,22@3,32@3を求め，a＞3に対してa2@3を求めよ．
(2)(a+b)@c={(a@c)+(b@c)}@cとなることを示せ．
(3)a2+b2=c2のときa,bの少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第2問

自然数Nは30の倍数である．
\begin{align}
&U={x\;|\;x　は　1　以上　N　以下の奇数　},\nonumber\\
&A={x\;|\;x\inU,x　は　3　の倍数　},\nonumber\\
&B={x\;|\;x\inU,x　は　5　の倍数　},\nonumber
\end{align}
とし，集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれuN,aN,bN,cNと表す．次の問いに答えよ．
(1)uN,aN,bN,cNをNを用いて表せ．
(2)N以下の素数の個数をPNとするとき，不等式PN≦uN-aN-b・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)異なる3個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が5の倍数になる場合は[ア]通りである．
(2)数列{an}は，初項が2，公差が5の等差数列であり，数列{bn}は，初項が1，公比が3の等比数列である．このとき
a1b1+a2b2+・・・+anbn=\frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3n}{[オ]}
である．ただし，[オ]はできる限り小さい自然数で答えること．

　私立 金沢工業大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\frac{√5+√3}{√2}のとき，x+1/x=\sqrt{[アイ]}，x2+\frac{1}{x2}=[ウ]である．
(2)|\abs{x-1|-2}=3の解はx=[エオ],[カ]である．
(3)2つの2次関数y=6x2+2kx+k，y=-x2+(k-6)x-1のグラフが両方ともx軸と共有点をもたないような定数kの値の範囲は[キ]＜k＜[ク]である．
(4)0°≦θ≦180°で\ta・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)aを0以上7以下の整数，bを88以下の正の整数，cを1024の倍数とする．このとき，89a+bのとり得る値の最大値は
[ア][イ][1]である．89a+b-c+669が1024の倍数のとき，89a+b=[ウ][エ][5]となって，a=[オ]，b=[カ][8]となる．
(2)数列
{an}:1/1,1/2,3/2,1/3,3/3,5/3,1/4,3/4,5/4,7/4,1/5,・・・
につ・・・

　私立 北海学園大学 2010年 第5問

さいころを4回投げて，出た目を順に並べて4桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)4桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に5の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に3333以上かつ4444未満の整数は何個あるか．

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

さいころを4回投げて，出た目を順に並べて4桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)4桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に5の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に3333以上かつ4444未満の整数は何個あるか．

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)自然数nがn=p2q（p,qは素数，p≠q）の形で表されるとき，nの正の約数は6個あり，それらの和は
([ク]+p+p2)([ケ]+q)
と表すことができる．このようなnで正の約数の和が2nとなるような数を求める．正の約数の和が2nであるから，
2p2q=([ク]+p+p2)([ケ]+q)
が成り立つ．[ク]+p+p2は奇数であり，pの倍数ではないから，[ケ]+qは2p2の倍数となり，
[ケ]+q=2p2k(k　は自然数　)
とおける．・・・

　私立 東北学院大学 2010年 第5問

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，x,yは実数とし，nは自然数とする．
(1)xが無理数ならば，x2とx3の少なくとも一方は無理数である．
(2)x+y,xyがともに有理数ならば，x,yはともに有理数である．
(3)n2が8の倍数ならば，nは4の倍数である．

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)異なる3個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が5の倍数になる場合は[ア]通りである．
(2)数列{an}は，初項が2，公差が5の等差数列であり，数列{bn}は，初項が1，公比が3の等比数列である．このとき
a1b1+a2b2+・・・+anbn=\frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3n}{[オ]}
である．ただし，[オ]はできる限り小さい自然数で答えること．