「倍数」について

　私立 中央大学 2015年 第2問

1個のさいころをくり返し投げ，3の倍数の目が出る回数を数える．いま，さいころをn回投げるとき，3の倍数の目が奇数回出る確率をPnとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)P2およびP3を求めよ．
(2)P_{n+1}をPnで表せ．
(3)Pnをnの式で表せ．

　私立 上智大学 2015年 第2問

Nを2以上の整数とする．整数a,bに対し，演算\oplusを
a\oplusb=\biggl((a+b)　を　N　で割ったときの余り　\biggr)
と定める．例えば，N=2のとき，
0\oplus0=0,0\oplus1=1,1\oplus1=0,1\oplus3=0
である．
(1)次の条件によって定められる数列{an}を考える．
a1=1,a_{n+1}=an\oplus(n+1)(n=1,2,3,・・・)
(i)N=4のとき，a3=[ヌ]である．
(ii)N・・・

　私立 東北学院大学 2015年 第1問

次の各問題の[]に適する答えを記入せよ．
(1)log9(x2+1)-log3x=1のときx=[ア]である．
(2)√3sinθ-cosθ=2sin(θ-α)のときα=[イ]である．ただし0＜α＜πとする．
(3)3の倍数で1000以下の自然数すべての和は[ウ]である．

　私立 広島工業大学 2015年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)0°＜θ＜{180}°，2sinθ+3cosθ=0のとき，cosθの値を求めよ．
(2)3nm-6n=5m-5となる正の整数の組(m,n)を求めよ．
(3)1から100までの整数で3の倍数であるが5の倍数でないものの個数を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\frac{1}{√5-√2},y=\frac{1}{√5+√2}のとき，
xy=\frac{[ア]}{[イ]},x+y=\frac{[ウ]\sqrt{[エ]}}{[オ]}
である．
(2)a,bを定数とする．不等式x-2a≦3x+b≦x+2の解が4≦x≦5であるとき，a=[カ]，b=[キク]である．
(3)2次方程式x2-3x-5=0の解をα,β(α＜β)とするとき，
m≦α＜m+1を満たす・・・

　国立 東京工業大学 2014年 第1問

3以上の奇数nに対して，anとbnを次のように定める．
an=1/6Σ_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1),bn=\frac{n2-1}{8}
(1)anとbnはどちらも整数であることを示せ．
(2)an-bnは4の倍数であることを示せ．

　国立 千葉大学 2014年 第3問

pは奇数である素数とし，N=(p+1)(p+3)(p+5)とおく．
(1)Nは48の倍数であることを示せ．
(2)Nが144の倍数になるようなpの値を，小さい順に5つ求めよ．

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・

　国立 熊本大学 2014年 第4問

1次関数fn(x)=anx+bn(n=1,2,3,・・・)は以下の2つの条件を満たすとする．
(i)f1(x)=x
(ii)f_{n+1}(x)は整式Pn(x)=∫1x6tfn(t)dtをx2+xで割ったときの余りに等しい．
以下の問いに答えよ．
(1)n≧1のとき，a_{n+1}，b_{n+1}をan,bnを用いて表せ．
(2)n≧2のとき，|an|と|bn|は偶数であることを示せ．
(3)n≧2のとき，|an|と|bn|は・・・

　国立 新潟大学 2014年 第3問

Aの箱には1から20までの整数が1つずつ書かれた20枚のカードが入っている．Bの箱には1から30までの整数が1つずつ書かれた30枚のカードが入っている．A，Bの箱から1枚ずつカードを取り出し，取り出した2枚のカードに書かれた整数の和をXとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Xが2の倍数となる確率を求めよ．
(2)Xが2の倍数であるが5の倍数でない確率を求めよ．
(3)Xが5の倍数となる確率を求めよ．
(4)Xが2の倍数にも5の倍数にもならな・・・