「倍数」について

　私立 大阪工業大学 2013年 第1問

次の空所を埋めよ．
(1)2次方程式x2-16x+4=0の2つの実数解をα,βとすると，\sqrt{α}\sqrt{β}=[ア]であり，\frac{1}{\sqrt{α}}+\frac{1}{\sqrt{β}}=[イ]である．
(2)三角関数の合成によりsinθ+√3cosθ=2sin(θ+[ウ])と表される．ただし，0＜[ウ]＜2πとする．また，0≦θ≦πのとき，sinθ+√3cosθ=2を満たすθは，θ=[エ]である．
(3)実数x・・・

　私立 大阪工業大学 2013年 第1問

次の空所を埋めよ．
(1)2次方程式x2-16x+4=0の2つの実数解をα,βとすると，\sqrt{α}\sqrt{β}=[ア]であり，\frac{1}{\sqrt{α}}+\frac{1}{\sqrt{β}}=[イ]である．
(2)三角関数の合成によりsinθ+√3cosθ=2sin(θ+[ウ])と表される．ただし，0＜[ウ]＜2πとする．また，0≦θ≦πのとき，sinθ+√3cosθ=2を満たすθは，θ=[エ]である．
(3)実数x・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第4問

自然数の組(x,y,z)が等式x2+y2=z2を満たすとする．
(1)すべての自然数nについて，n2を4で割ったときの余りは0か1のいずれかであることを示せ．
(2)xとyの少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)xが偶数，yが奇数であるとする．このとき，xが4の倍数であることを示せ．

　公立 会津大学 2013年 第4問

袋の中に，1と書かれた玉，2と書かれた玉，3と書かれた玉，6と書かれた玉が1つずつ，全部で4つ入っている．ここから玉を1つ取り出して袋に戻すことを3回行う．取り出した玉に書かれた数を順にa,b,cとする．以下の問いに答えよ．
(1)a+b+cが奇数になる確率を求めよ．[イ]
(2)a×b×cが偶数になる確率を求めよ．[ロ]
(3)a×b×cが6の倍数になる確率を求めよ．[ハ]
(4)a×b+b×c+c×aが3の倍数になる確率を求めよ・・・

　国立 京都大学 2012年 第4問

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)]正n角形の頂点から3点を選んで内角の1つが60°である三角形を作ることができるならば，nは3の倍数である．
\mon[(q)]△ABCと△A´B´C´において，AB=A´B´，BC=B´C´，∠A=∠A´ならば，これ・・・

　国立 京都大学 2012年 第5問

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)]正n角形の頂点から3点を選んで内角の1コが60°である三角形を作ることができるならば，nは3の倍数である．
\mon[(q)]△ABCと△ABDにおいて，AC＜ADかつBC＜BDならば．∠C＞∠Dである．

　国立 大阪大学 2012年 第2問

次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える．\\
\maru{1}nは素数ではない．\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると，必ず
|l-m|≦2
\qquadである．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)nが偶数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(2)nが7の倍数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(3)2≦n≦1000の範囲で，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第2問

次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える．\\
\maru{1}nは素数ではない．\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると，必ず
|l-m|≦2
\qquadである．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)nが偶数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(2)nが7の倍数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(3)2≦n≦1000の範囲で，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれA，B，Cとし，頂点A上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
[　R　]さいころの目が3の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，3の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを3回投げたとき，碁石が頂点A，B，C上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころをn・・・

　国立 千葉大学 2012年 第3問

さいころを7回投げ，k回目（1≦k≦7）に出る目をXkとする．
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ．
(2)積X1X2・・・X7が偶数である確率を求めよ．
(3)積X1X2・・・X7が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積X1X2・・・X7を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．