「共有点」について

　国立 愛媛大学 2015年 第2問

原点をOとする座標平面上に3点A(0,3)，B(4,0)，C(4,4)を頂点とする三角形ABCがあり，線分AB上に点Pがある．ただし，Pは線分ABの端点にないものとする．直線OPによって三角形ABCを2つの図形に分けたとき，点Aを含む図形の面積をSとする．線分APの長さをtとするとき，次の問いに答えよ．
(1)tの値の範囲を求め，点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)直線OPが線分ACと共有・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

aを自然数とし，関数f(x)=x3+2x2+ax+4はx=x1で極大，x=x2で極小になるものとする．また，曲線y=f(x)上の2点P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))の中点をRとする．
(1)a=1であることを示せ．
(2)点Pおよび点Qの座標を求めよ．
(3)点Rは曲線y=f(x)上にあることを示せ．
(4)点Rにおける曲線y=f(x)の接線は，点R以外にy=f(x)との共有点をもたないことを示せ．

　国立 高知大学 2015年 第1問

方程式x2+y2+2kx-4ky+10k-20=0の表す図形Cを考える．ただし，kは実数とする．次の問いに答えよ．
(1)図形Cは円であることを示せ．
(2)図形Cはkがどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．
(3)図形Cで囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．
(4)図形Cと直線y=x-2の共有点の個数を求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第4問

0≦t＜2πとする．関数f(x)=2x2+(2+sint)x+cos2t-2について，次の問いに答えよ．
(1)t=π/2のとき，y=f(x)の最小値を求めよ．
(2)tがどのような値であっても，y=f(x)のグラフはx軸と異なる2つの共有点を持つことを示せ．
(3)y=f(x)のグラフが，x軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)(3)のとき，y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第5問

aを定数とする．2曲線
C1:y=-3/2cos2x(0＜x＜2π)
C2:y=acosx-a-3/4(0＜x＜2π)
を考える．C1とC2は共有点をもち，ある共有点でのC1とC2の接線は一致し，かつその傾きは0でないとする．次の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)C1とC2の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)C1とC2で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 東京学芸大学 2015年 第3問

aは0＜a＜1を満たす実数とする．2つの曲線y=ax，y=logaxが直線y=x上に共有点をもち，その共有点において共通の接線をもつとする．そのときのaの値および共通の接線の方程式を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第2問

放物線C:y=-a2x2+1と直線ℓ:y=a(x+1)について，次の各問に答えよ．ただし，aはa＞0を満たす定数とする．
(1)Cとℓが異なる2つの共有点をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(2)ℓがCに接するとき，不等式x≦0の表す領域内においてCとℓおよびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 鳴門教育大学 2015年 第2問

mを定数とし，放物線y=x2+mx-2m+1をC1とします．次の問いに答えなさい．
(1)C1を原点に関して対称移動した後，さらにx軸方向に1，y軸方向に-mだけ平行移動した放物線をC2とするとき，放物線C2の方程式を求めなさい．
(2)2つの放物線C1,C2がともに，x軸と共有点をもつような定数mの値の範囲を求めなさい．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)さいころを2回投げて，出た目を順にa,bとおく．関数
f(x)=ax
についてf(b)=6となる確率を求めよ．
(2)さいころを4回投げて，出た目を順にa,b,c,dとおく．関数
f(x)=ax3+bx2+cx
についてf(d)が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを6回投げて，出た目を順にa,b,c,d,e,fとおく．2つの放物線
y=ax2+bx+c,y=dx2+ex+f
がただ1つの共有点をもつ確率を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明]必要ならば，自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C　は積分定数　)
となることを用いてよい．