「共有点」について

　国立 長崎大学 2011年 第2問

3辺の長さがAB=4,BC=3,CA=5である直角三角形ABCと，その内側にあって2辺ABおよびACに接する円Oを考える．この円の半径をrとし，中心OからABに引いた垂線とABとの交点をHとする．また，ベクトルベクトルAB，ベクトルACと同じ向きで大きさが1のベクトルを，それぞれベクトルu,ベクトルvとし，ベクトルAH=tベクトルu(t＞0)とする．次の問いに答えよ．
(1)直線AOと辺BCの交点をMとする・・・

　国立 長崎大学 2011年 第7問

円C1:x2+y2-2√3x-4y+3=0と放物線C2:y=-1/2x2+\frac{1}{2√3}x+1について，次の問いに答えよ．
(1)C1と座標軸との共有点，およびC2と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
{
\begin{array}{l}
x2+y2-2√3x-4y+3≦0\\
y≦-1/2x2+\frac{1}{2√3}x+1
\end{array}
.
を満たす点(x,y)全体からなる領域をDとする．Dの面積Sを求めよ．
(3)点(x,y)が領域Dを動く・・・

　国立 九州工業大学 2011年 第3問

実数p＞0と関数f(x)=x3-xがある．2曲線C1:y=f(x)，C2:y=f(x+p)-pについて，次に答えよ．
(1)曲線C1とC2が共有点を2個もつときのpの範囲を求めよ．
(2)実数α,βに対して
∫_{α}^{β}(β-x)(x-α)dx=1/6(β-α)3
を示せ．
(3)pが(1)で求めた範囲を動くとき，曲線C1,C2によって囲まれた図形の面積S(p)の最大値を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2011年 第1問

3次関数f(x)をf(x)=x3-4xで定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数f(x)の極値を求め，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)点(1,4)を通る直線とy=|f(x)|のグラフが，x＞0の範囲において2個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

　私立 早稲田大学 2011年 第5問

aを0でない実数とする．2つの異なる曲線
C1:y=x2-2x+5,C2:y=ax2+(1-3a)x+13/8
は，ある共有点Pで共通な接線ℓをもつ．さらに，曲線C2上の点Qにおいてℓ以外の接線を，ℓと点Rで直交するように引く．このときaの値は\frac{[ソ]}{[タ]}であり，共通接線ℓの方程式は[チ]x-[ツ]y+[テ]=0である．また，曲線C2は△PQRの面積を1:[ト]に分ける．ただし，[タ]から[ト]はでき・・・

　私立 金沢工業大学 2011年 第4問

円x2+y2+4x-2y-4=0をCとし，直線y=-x+2をℓとする．
(1)円Cの中心Pの座標は([クケ],[コ])であり，半径は[サ]である．
(2)直線ℓに関して点Pと対称な点Qの座標は([シ],[ス])である．
(3)点Pと直線ℓの間の距離は\frac{[セ]}{[ソ]}\sqrt{[タ]}である．
(4)円Cと直線ℓの2つの共有点の間の距離は[チ]\sqrt{[ツ]}である．
(5)点Qを中心とし，円C・・・

　私立 明治大学 2011年 第3問

次の連立不等式で表される領域Dを考える．
{\begin{array}{l}
(x-1/2)2+y2≦1\
y≦-2x+3/2\
y≦x+7/10
\end{array}.
以下の問に答えなさい．
(1)y切片がkで，直線y=-2x+3/2に垂直な直線をℓとする．直線ℓが領域Dと共有点を持つとき，kのとる範囲は，
-\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]}≦k≦\f・・・

　私立 明治大学 2011年 第4問

次の空欄[ア]から[ス]に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄[シス]は2桁の数字をあらわす．
aを正の定数とする．2点A(0,a)，B(t,t2)の間の距離をL(t)とする．L(t)はa≦1/2の場合はt=[ア]で最小値[イ]をとり，a＞1/2の場合は|t|=[ウ]のとき最小値[エ]をとる．
A(0,a)を中心とする半径1の円C1と放物線C2:y=x2が2点で接している・・・

　私立 甲南大学 2011年 第1問

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)△ABCにおいて，∠B={105}°，∠C={30}°，BC=6であるとき，△ABCの外接円の半径は[1]であり，辺ACの長さは[2]である．
(2)次の不等式をみたすxの値の範囲は，[3]＜x＜[4]である．
log2(3x-1)+log2(4x+5)＜log4(7x-1)2
(3)3次方程式x3+(2a-1)x2+(5a+8)x-7a-8=0は解x=1をもつという．この方程式が3重解をもつのは，a=[5]のとき・・・

　私立 明治大学 2011年 第3問

空欄[オ]，[カ]，[キ]に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる0から9までの数字を入れよ．
座標平面上に3つの放物線C1:y=x2，C2:y=-x2-8x-8，C3:y=-x2+ax+bがある．C1とC3はt＞0の範囲にただ1つの共有点(t,t2)を持ち，直線ℓは点PでC2に接し，なおかつ点QでC3に接しているとする．次の問に答えよ．
(1)C1とC2の共有点は(-[ア],[イ]\righ・・・