「共有点」について

　公立 首都大学東京 2015年 第3問

座標平面において曲線y=\frac{3}{x2+3}をC1，曲線y=x2+k（kは定数）をC2とする．C1とC2のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．
(1)定数kの値を求めなさい．また，C1とC2のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)C1とC2で囲まれる部分の面積Sを求めなさい．

　公立 大阪市立大学 2015年 第1問

座標平面上に2点P(0,2)，Q(1,0)をとる．また，tを実数とし，放物線y=(x-t)2をCとする．次の問いに答えよ．
(1)CがPを通るときのtの値を求めよ．
(2)Cが直線PQに接するときのtの値と接点の座標を求めよ．
(3)線分PQとCの共有点の個数がtによりどのように変化するか記述せよ．

　公立 高知工科大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)f(x)=|2x+3|のときf(-3)+f(0)+f(3)の値を求めよ．
(2)方程式log2(x-1)+log2(x+2)=2を解け．
(3){\begin{array}{l}
sinx+cosy=1\
cosx+siny=1/2
\end{array}.のときsin(x+y)の値を求めよ．
(4)a,b,xを実数とする．命題
x2-(a+b)x+ab≦0⇒x2＜2x+3
が真となるような定数a,bの満たすべき条件を求めよ．ただし，a≦bとする．
(5)aを定数とし，関数y=f(x)はx=aで微分・・・

　国立 東京大学 2014年 第3問

uを実数とする．座標平面上の2つの放物線
\begin{array}{ll}
C1:&y=-x2+1\
C2:&y=(x-u)2+u
\end{array}
を考える．C1とC2が共有点をもつようなuの値の範囲は，ある実数a,bにより，a≦u≦bと表される．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)uがa≦u≦bをみたすとき，C1とC2の共有点をP1(x1,y1)，P2(x2,y2)とする．ただし，共有点が1点のみのときは，P1とP2は一致し，ともにその共有点を表すとする．
2\ab・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第4問

平面上に半径1と半径2の同心円C1とC2がある．自然数nに対して，C2の周を3n等分する3n個の点がある．この3n個の点の中から異なる3点を選ぶとき，次の(*)をみたす選び方の総数をak(k=0,1,2,3)とする．
(*)選んだ3点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうどk個がC1の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)n=2のとき，a0,a1,a2,a3を求めよ．
(2)n≧2のとき，a0,a1,a2,a3をnの・・・

　国立 静岡大学 2014年 第4問

αを実数とする．2つの関数f(x)=e^{-x}(sinx-cosx)とg(x)=αe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)∫f(x)dx=-e^{-x}sinx+Cであることを示せ．ただし，Cは積分定数である．
(2)すべてのx≧0についてf(x)≦g(x)が成り立つようなαの値の最小値を求めよ．
(3)αを(2)で求めた最小値とする．曲線y=f(x)(x≧0)と曲線y=g(x)(x≧0)との共有点のx座標を小さい方から順にa0,a1,a2,・・・とし，nが自然・・・

　国立 一橋大学 2014年 第3問

円C:x2+y2=1上の点Pにおける接線をℓとする．点(1,0)を通りℓと平行な直線をmとする．直線mと円Cの(1,0)以外の共有点をP´とする．ただし，mが直線x=1のときはP´を(1,0)とする．
円C上の点P(s,t)から点P´(s´,t´)を得る上記の操作をTと呼ぶ．
(1)s´,t´をそれぞれsとtの多項式として表せ．
(2)点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点を\・・・

　国立 神戸大学 2014年 第1問

aを実数とし，f(x)=xex-x2-axとする．曲線y=f(x)上の点(0,f(0))における接線の傾きを-1とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)関数y=f(x)の極値を求めよ．
(3)bを実数とするとき，2つの曲線y=xexとy=x2+ax+bの-1≦x≦1の範囲での共有点の個数を調べよ．

　国立 北海道大学 2014年 第1問

2つの放物線
C1:y=-x2+3/2,C2:y=(x-a)2+a(a＞0)
がある．点P1(p,-p2+3/2)におけるC1の接線をℓ1とする．
(1)C1とC2が共有点を持たないためのaに関する条件を求めよ．
(2)ℓ1と平行なC2の接線ℓ2の方程式と，ℓ2とC2の接点P2の座標をa,pを用いて表せ．
(3)C1とC2が共有点を持たないとする．(2)で求めたP2とP1を結ぶ線分がℓ1と垂直になるとき，p・・・

　国立 東京工業大学 2014年 第4問

点P(t,s)がs=√2t2-2tを満たしながらxy平面上を動くときに，点Pを原点を中心として45°回転した点Qの軌跡として得られる曲線をCとする．さらに，曲線Cとx軸で囲まれた図形をDとする．
(1)点Q(x,y)の座標をtを用いて表せ．
(2)直線y=aと曲線Cがただ1つの共有点を持つような定数aの値を求めよ．
(3)図形Dをy軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ．