「共有点」について

　国立 香川大学 2014年 第4問

曲線C1:y=x3-2x2，C2:y=x2+ax+1について，次の問に答えよ．
(1)曲線C1の概形をかけ．
(2)曲線C1とx軸の共有点で原点と異なるものをPとする．点PにおけるC1の接線ℓの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線ℓが曲線C2の接線となるようなaの値をすべて求めよ．
(4)aが(3)で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線C2と直線ℓおよびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 香川大学 2014年 第5問

曲線C1:y=tanx(0≦x＜π/2)，C2:y=cosx(0≦x＜π/2)について，次の問に答えよ．
(1)2曲線C1，C2の共有点のx座標をaとするとき，sinaの値を求めよ．
(2)曲線C1,C2とy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 香川大学 2014年 第4問

曲線C1:y=x3-2x2，C2:y=x2+ax+1について，次の問に答えよ．
(1)曲線C1の概形をかけ．
(2)曲線C1とx軸の共有点で原点と異なるものをPとする．点PにおけるC1の接線ℓの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線ℓが曲線C2の接線となるようなaの値をすべて求めよ．
(4)aが(3)で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線C2と直線ℓおよびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 秋田大学 2014年 第2問

0以上の整数nに対して，
gn(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x)
とおく．次の問いに答えよ．
(1)n≦x≦n+1において，曲線y=gn(x)上の点(α,gn(α))における接線の傾きが-gn(α)となるαを求めよ．
(2)f(x)=ce^{-x}(c＞0)とおく．曲線y=f(x)が曲線y=gn(x)と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するようなcを求めよ．
(3)曲線y=gn(x)と(2)で求めた曲線y=f(x)の共有点をPnとし，点Pnにおけるy=f(x)の接線をℓn・・・

　国立 島根大学 2014年 第2問

f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x2+1}}とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)kを正の定数とする．関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kがちょうど2個の共有点をもつとき，kの値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた定数とする．このとき，x≧0の範囲で，関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kおよびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 島根大学 2014年 第2問

f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x2+1}}とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)kを正の定数とする．関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kがちょうど2個の共有点をもつとき，kの値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた定数とする．このとき，x≧0の範囲で，関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kおよびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 島根大学 2014年 第3問

点(0,5)を通る直線ℓと楕円C:\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}=1を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円Cと共有点をもつ直線ℓの方程式をすべて求めよ．
(2)楕円Cと直線ℓが接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円Cと直線ℓが第一象限で接するとき，Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 東京学芸大学 2014年 第3問

0＜x＜2πのとき，y=2sinxのグラフとy=a-cos2xのグラフが接するように定数aの値を定め，そのときの2つのグラフをかけ．ただし，2つのグラフがある共有点で共通の接線をもつとき，これらのグラフは接するという．

　国立 電気通信大学 2014年 第2問

2つの関数
f(x)=x\sqrt{4-x2}(0≦x≦2),g(y)=\sqrt{4-y2}(0≦y≦2)
を考える．座標平面上において，曲線y=f(x)をC1とし，曲線x=g(y)をC2とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)C1とC2との共有点の座標を求めよ．
(2)関数f(x)の最大値Mを求めよ．
(3)C1とx軸とで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(4)点(x,y)がC1上にあるとき，x2をyを用いて表せ．
(5)y軸および2曲線C1，C2で囲まれた図形を，y軸の周りに1・・・

　国立 千葉大学 2014年 第6問

実数aに対し，関数f(x)=∫x^{x+1}|t+1|dt+aを考える．曲線C:y=f(x)がx軸と2個の共有点を持つためのaの範囲を求めよ．またこのとき曲線Cとx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．