「内接」について

　国立 神戸大学 2011年 第2問

xy平面上に相異なる4点A，B，C，Dがあり，線分ACとBDは原点Oで交わっている．点Aの座標は(1,2)で，線分OAとODの長さは等しく，四角形ABCDは円に内接している．∠　AOD　=θとおき，点Cのx座標をa，四角形ABCDの面積をSとする．以下の問に答えよ．
(1)線分OCの長さをaを用いた式で表せ．また，線分OBとOCの長さは等しいことを示せ．
(2)Sをaとθを用いた式で表せ．
(3)θ=π/6とし，20≦S≦40とするとき，aのとりうる値の最大値・・・

　国立 千葉大学 2011年 第3問

四角錐OABCDにおいて，底面ABCDは1辺の長さ2の正方形で，
OA=OB=OC=OD=√5
である．
(1)四角錐OABCDの高さを求めよ．
(2)四角錐OABCDに内接する球Sの半径を求めよ．
(3)内接する球Sの表面積と体積を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2011年 第4問

円に内接する四角形ABCDにおいて　AB　=1,　BC　=2,　CD　=3,　DA　=4であるとする．ACとBDの交点をEとする．以下の問いに答えよ．
(1)BDの長さを求めよ．
(2)　BE　:　ED　を求めよ．
(3)ベクトルBC・ベクトルBEを求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第1問

円に内接する四角形ABCDの辺の長さを
AB=√2,BC=4,CD=3√2,DA=2
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)対角線BDの長さlと，内角∠DABの大きさαを求めよ．
(2)四角形ABCDの面積Sを求めよ．
(3)四角形ABCDが内接する円の半径Rを求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第2問

半径1の球をO1とし，球O1に内接する立方体をB1とする．次に立方体B1に内接する球をO2とし，球O2に内接する立方体をB2とする．以下この操作を繰り返してできる球をOn，立方体をBn(n=3,4,・・・)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B1の1辺の長さl1を求めよ．
(2)球Onの半径rnをnを用いて表せ．
(3)球Onの体積をVnとし，Sk=V1+V2+・・・+Vkとするとき，\display・・・

　国立 島根大学 2011年 第2問

半径1の球をO1とし，球O1に内接する立方体をB1とする．次に立方体B1に内接する球をO2とし，球O2に内接する立方体をB2とする．以下この操作を繰り返してできる球をOn，立方体をBn(n=3,4,・・・)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B1の1辺の長さl1を求めよ．
(2)球Onの半径rnをnを用いて表せ．
(3)球Onの体積をVnとし，Sk=V1+V2+・・・+Vkとするとき，\lim_{k→∞}Skを求めよ．

　国立 熊本大学 2011年 第1問

四角形ABCDにおいて，
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=x,BD=y
とする．以下の問いに答えよ．
(1)cosA,cosB,cosC,cosDをa,b,c,d,x,yを用いて表せ．
(2)四角形ABCDが円に内接するとき，
xy=ac+bd
が成り立つことを示せ．

　国立 岐阜大学 2011年 第3問

平面上に点Oを中心とする半径1の円SとSに内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBの値を求めよ．
(2)ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　AP　2+　BP　2+　CP　2≧3
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円Sの周上の任意の点Qに対して，
(ベクトルOA・ベクトルOQ)2+(ベクトルOB・ベクトルOQ)2+(ベクトルOC・\vect{OQ・・・

　国立 岐阜大学 2011年 第4問

k,nは自然数でn≧3とする．平面上の点Oを中心とする\\
半径1の円をS1とする．右の図のように，半径r1のn個の\\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつS1に内接してい\\
る．さらに，点Oを中心とする円S2は，半径r1のすべて\\
の円に外接している．同様に，k≧2に対して，半径rkの\\
n個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円Skに内\\
接している．さらに点Oを中心とする円S_{k+1}は，半径rk\\
のすべての円に外接している．S2の半径をs2とする．以・・・

　国立 岐阜大学 2011年 第3問

平面上に点Oを中心とする半径1の円SとSに内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBの値を求めよ．
(2)ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　AP　2+　BP　2+　CP　2≧3
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円Sの周上の任意の点Qに対して，
(ベクトルOA・ベクトルOQ)2+(ベクトルOB・ベクトルOQ)2+(ベクトルOC・\vect{OQ・・・